Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 2789 / 5977
↖ ↑ ↗
← S 63.411198°
W 57.436523°		 ← 2 187.12 m → S 63.411198°
W 57.392578°		 →
↑
2 186.40 m
↓
↑
2 186.40 m
↓
S 63.430860°
W 57.436523°		 ← 2 185.62 m →
4 780 274 m²		 S 63.430860°
W 57.392578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2789 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5977 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.34051513671875 y=0.72967529296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.34051513671875 × 213)
    floor (0.34051513671875 × 8192)
    floor (2789.5)     		tx = 2789
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.72967529296875 × 213)
    floor (0.72967529296875 × 8192)
    floor (5977.5)     		ty = 5977
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2789 / 5977 ti = "13/2789/5977"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2789/5977.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2789 ÷ 213
    2789 ÷ 8192     		x = 0.3404541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5977 ÷ 213
    5977 ÷ 8192     		y = 0.7296142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3404541015625 × 2 - 1) × π
    -0.319091796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.00245644
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7296142578125 × 2 - 1) × π
    -0.459228515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.44270893096521
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00245644} λ = -1.00245644}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44270893096521))-π/2
    2×atan(0.236286806279973)-π/2
    2×0.232031071951183-π/2
    0.464062143902366-1.57079632675     		φ = -1.10673418
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00245644} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.436523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10673418 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.411198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2789 KachelY 5977 -1.00245644 -1.10673418 -57.436523 -63.411198
    Oben rechts KachelX + 1 2790 KachelY 5977 -1.00168945 -1.10673418 -57.392578 -63.411198
    Unten links KachelX 2789 KachelY + 1 5978 -1.00245644 -1.10707736 -57.436523 -63.430860
    Unten rechts KachelX + 1 2790 KachelY + 1 5978 -1.00168945 -1.10707736 -57.392578 -63.430860
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10673418--1.10707736) × R
    0.000343179999999998 × 6371000     		dl = 2186.39977999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10673418--1.10707736) × R
    0.000343179999999998 × 6371000     		dr = 2186.39977999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00245644--1.00168945) × cos(-1.10673418) × R
    0.000766990000000023 × 0.447584330939125 × 6371000     		do = 2187.11782984324m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00245644--1.00168945) × cos(-1.10707736) × R
    0.000766990000000023 × 0.447277418712637 × 6371000     		du = 2185.61810530789m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10673418)-sin(-1.10707736))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447584330939125-0.447277418712637)×R²
    abs(-1.00168945--1.00245644)×0.00030691222648821×R²
    0.000766990000000023×0.00030691222648821×6371000²
    0.000766990000000023×0.00030691222648821×40589641000000     		ar = 4780274.49022048m²