Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27887 / 7378
↖ ↑ ↗
← N 79.979979°
W 26.812134°		 ← 106.27 m → N 79.979979°
W 26.806641°		 →
↑
106.27 m
↓
↑
106.27 m
↓
N 79.979023°
W 26.812134°		 ← 106.28 m →
11 294 m²		 N 79.979023°
W 26.806641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27887 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7378 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425529479980469 y=0.112586975097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425529479980469 × 216)
    floor (0.425529479980469 × 65536)
    floor (27887.5)     		tx = 27887
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112586975097656 × 216)
    floor (0.112586975097656 × 65536)
    floor (7378.5)     		ty = 7378
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27887 / 7378 ti = "16/27887/7378"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27887/7378.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27887 ÷ 216
    27887 ÷ 65536     		x = 0.425521850585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7378 ÷ 216
    7378 ÷ 65536     		y = 0.112579345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425521850585938 × 2 - 1) × π
    -0.148956298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.46796001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112579345703125 × 2 - 1) × π
    0.77484130859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.43423576270645
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46796001} λ = -0.46796001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43423576270645))-π/2
    2×atan(11.4070976518745)-π/2
    2×1.48335514962501-π/2
    2.96671029925002-1.57079632675     		φ = 1.39591397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46796001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.812134°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39591397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.979979°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27887 KachelY 7378 -0.46796001 1.39591397 -26.812134 79.979979
    Oben rechts KachelX + 1 27888 KachelY 7378 -0.46786414 1.39591397 -26.806641 79.979979
    Unten links KachelX 27887 KachelY + 1 7379 -0.46796001 1.39589729 -26.812134 79.979023
    Unten rechts KachelX + 1 27888 KachelY + 1 7379 -0.46786414 1.39589729 -26.806641 79.979023
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39591397-1.39589729) × R
    1.66800000001022e-05 × 6371000     		dl = 106.268280000651m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39591397-1.39589729) × R
    1.66800000001022e-05 × 6371000     		dr = 106.268280000651m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46796001--0.46786414) × cos(1.39591397) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.173992290002854 × 6371000     		do = 106.272362808034m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46796001--0.46786414) × cos(1.39589729) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.174008715558855 × 6371000     		du = 106.282395336755m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39591397)-sin(1.39589729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173992290002854-0.174008715558855)×R²
    abs(-0.46786414--0.46796001)×1.64255560007598e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.64255560007598e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.64255560007598e-05×40589641000000     		ar = 11293.914277425m²