Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27887 / 22011
↖ ↑ ↗
← N 50.753834°
W 26.812134°		 ← 386.42 m → N 50.753834°
W 26.806641°		 →
↑
386.40 m
↓
↑
386.40 m
↓
N 50.750360°
W 26.812134°		 ← 386.45 m →
149 318 m²		 N 50.750360°
W 26.806641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27887 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22011 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425529479980469 y=0.335868835449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425529479980469 × 216)
    floor (0.425529479980469 × 65536)
    floor (27887.5)     		tx = 27887
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335868835449219 × 216)
    floor (0.335868835449219 × 65536)
    floor (22011.5)     		ty = 22011
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27887 / 22011 ti = "16/27887/22011"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27887/22011.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27887 ÷ 216
    27887 ÷ 65536     		x = 0.425521850585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22011 ÷ 216
    22011 ÷ 65536     		y = 0.335861206054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425521850585938 × 2 - 1) × π
    -0.148956298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.46796001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335861206054688 × 2 - 1) × π
    0.328277587890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.03131445842589
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46796001} λ = -0.46796001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03131445842589))-π/2
    2×atan(2.80475014018969)-π/2
    2×1.22830892523804-π/2
    2.45661785047607-1.57079632675     		φ = 0.88582152
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46796001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.812134°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88582152 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.753834°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27887 KachelY 22011 -0.46796001 0.88582152 -26.812134 50.753834
    Oben rechts KachelX + 1 27888 KachelY 22011 -0.46786414 0.88582152 -26.806641 50.753834
    Unten links KachelX 27887 KachelY + 1 22012 -0.46796001 0.88576087 -26.812134 50.750360
    Unten rechts KachelX + 1 27888 KachelY + 1 22012 -0.46786414 0.88576087 -26.806641 50.750360
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88582152-0.88576087) × R
    6.06499999999954e-05 × 6371000     		dl = 386.401149999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88582152-0.88576087) × R
    6.06499999999954e-05 × 6371000     		dr = 386.401149999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46796001--0.46786414) × cos(0.88582152) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.632653501217721 × 6371000     		do = 386.417021191456m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46796001--0.46786414) × cos(0.88576087) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.632700469536004 × 6371000     		du = 386.44570886584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88582152)-sin(0.88576087))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632653501217721-0.632700469536004)×R²
    abs(-0.46786414--0.46796001)×4.69683182829916e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.69683182829916e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.69683182829916e-05×40589641000000     		ar = 149317.523888951m²