Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27886 / 7377
↖ ↑ ↗
← N 79.980935°
W 26.817627°		 ← 106.27 m → N 79.980935°
W 26.812134°		 →
↑
106.27 m
↓
↑
106.27 m
↓
N 79.979979°
W 26.817627°		 ← 106.28 m →
11 294 m²		 N 79.979979°
W 26.812134°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27886 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7377 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425514221191406 y=0.112571716308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425514221191406 × 216)
    floor (0.425514221191406 × 65536)
    floor (27886.5)     		tx = 27886
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112571716308594 × 216)
    floor (0.112571716308594 × 65536)
    floor (7377.5)     		ty = 7377
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27886 / 7377 ti = "16/27886/7377"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27886/7377.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27886 ÷ 216
    27886 ÷ 65536     		x = 0.425506591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7377 ÷ 216
    7377 ÷ 65536     		y = 0.112564086914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425506591796875 × 2 - 1) × π
    -0.14898681640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.46805589
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112564086914062 × 2 - 1) × π
    0.774871826171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.43433163650569
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46805589} λ = -0.46805589}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43433163650569))-π/2
    2×atan(11.4081913460921)-π/2
    2×1.48336348988212-π/2
    2.96672697976424-1.57079632675     		φ = 1.39593065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46805589} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.817627°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39593065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.980935°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27886 KachelY 7377 -0.46805589 1.39593065 -26.817627 79.980935
    Oben rechts KachelX + 1 27887 KachelY 7377 -0.46796001 1.39593065 -26.812134 79.980935
    Unten links KachelX 27886 KachelY + 1 7378 -0.46805589 1.39591397 -26.817627 79.979979
    Unten rechts KachelX + 1 27887 KachelY + 1 7378 -0.46796001 1.39591397 -26.812134 79.979979
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39593065-1.39591397) × R
    1.66799999998801e-05 × 6371000     		dl = 106.268279999236m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39593065-1.39591397) × R
    1.66799999998801e-05 × 6371000     		dr = 106.268279999236m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46805589--0.46796001) × cos(1.39593065) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.173975864398445 × 6371000     		do = 106.273414252061m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46805589--0.46796001) × cos(1.39591397) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.173992290002854 × 6371000     		du = 106.283447856825m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39593065)-sin(1.39591397))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173975864398445-0.173992290002854)×R²
    abs(-0.46796001--0.46805589)×1.64256044090927e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.64256044090927e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.64256044090927e-05×40589641000000     		ar = 11294.0260691182m²