Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27886 / 22023
↖ ↑ ↗
← N 50.712113°
W 26.817627°		 ← 386.80 m → N 50.712113°
W 26.812134°		 →
↑
386.78 m
↓
↑
386.78 m
↓
N 50.708634°
W 26.817627°		 ← 386.83 m →
149 614 m²		 N 50.708634°
W 26.812134°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27886 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22023 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425514221191406 y=0.336051940917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425514221191406 × 216)
    floor (0.425514221191406 × 65536)
    floor (27886.5)     		tx = 27886
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336051940917969 × 216)
    floor (0.336051940917969 × 65536)
    floor (22023.5)     		ty = 22023
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27886 / 22023 ti = "16/27886/22023"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27886/22023.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27886 ÷ 216
    27886 ÷ 65536     		x = 0.425506591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22023 ÷ 216
    22023 ÷ 65536     		y = 0.336044311523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425506591796875 × 2 - 1) × π
    -0.14898681640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.46805589
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336044311523438 × 2 - 1) × π
    0.327911376953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.03016397283501
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46805589} λ = -0.46805589}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03016397283501))-π/2
    2×atan(2.80152517106335)-π/2
    2×1.22794483372888-π/2
    2.45588966745776-1.57079632675     		φ = 0.88509334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46805589} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.817627°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88509334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.712113°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27886 KachelY 22023 -0.46805589 0.88509334 -26.817627 50.712113
    Oben rechts KachelX + 1 27887 KachelY 22023 -0.46796001 0.88509334 -26.812134 50.712113
    Unten links KachelX 27886 KachelY + 1 22024 -0.46805589 0.88503263 -26.817627 50.708634
    Unten rechts KachelX + 1 27887 KachelY + 1 22024 -0.46796001 0.88503263 -26.812134 50.708634
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88509334-0.88503263) × R
    6.07099999999638e-05 × 6371000     		dl = 386.78340999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88509334-0.88503263) × R
    6.07099999999638e-05 × 6371000     		dr = 386.78340999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46805589--0.46796001) × cos(0.88509334) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.6332172615049 × 6371000     		do = 386.801701351785m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46805589--0.46796001) × cos(0.88503263) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.633264248305253 × 6371000     		du = 386.830403308321m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88509334)-sin(0.88503263))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.6332172615049-0.633264248305253)×R²
    abs(-0.46796001--0.46805589)×4.69868003528662e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.69868003528662e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.69868003528662e-05×40589641000000     		ar = 149614.031808466m²