Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27886 / 22012
↖ ↑ ↗
← N 50.750360°
W 26.817627°		 ← 386.49 m → N 50.750360°
W 26.812134°		 →
↑
386.53 m
↓
↑
386.53 m
↓
N 50.746883°
W 26.817627°		 ← 386.51 m →
149 393 m²		 N 50.746883°
W 26.812134°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27886 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22012 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425514221191406 y=0.335884094238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425514221191406 × 216)
    floor (0.425514221191406 × 65536)
    floor (27886.5)     		tx = 27886
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335884094238281 × 216)
    floor (0.335884094238281 × 65536)
    floor (22012.5)     		ty = 22012
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27886 / 22012 ti = "16/27886/22012"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27886/22012.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27886 ÷ 216
    27886 ÷ 65536     		x = 0.425506591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22012 ÷ 216
    22012 ÷ 65536     		y = 0.33587646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425506591796875 × 2 - 1) × π
    -0.14898681640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.46805589
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33587646484375 × 2 - 1) × π
    0.3282470703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.03121858462665
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46805589} λ = -0.46805589}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03121858462665))-π/2
    2×atan(2.80448125102774)-π/2
    2×1.22827859666491-π/2
    2.45655719332981-1.57079632675     		φ = 0.88576087
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46805589} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.817627°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88576087 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.750360°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27886 KachelY 22012 -0.46805589 0.88576087 -26.817627 50.750360
    Oben rechts KachelX + 1 27887 KachelY 22012 -0.46796001 0.88576087 -26.812134 50.750360
    Unten links KachelX 27886 KachelY + 1 22013 -0.46805589 0.88570020 -26.817627 50.746883
    Unten rechts KachelX + 1 27887 KachelY + 1 22013 -0.46796001 0.88570020 -26.812134 50.746883
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88576087-0.88570020) × R
    6.06699999999849e-05 × 6371000     		dl = 386.528569999904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88576087-0.88570020) × R
    6.06699999999849e-05 × 6371000     		dr = 386.528569999904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46805589--0.46796001) × cos(0.88576087) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.632700469536004 × 6371000     		do = 386.486018212733m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46805589--0.46796001) × cos(0.88570020) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.632747451014112 × 6371000     		du = 386.514716918168m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88576087)-sin(0.88570020))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632700469536004-0.632747451014112)×R²
    abs(-0.46796001--0.46805589)×4.69814781081102e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.69814781081102e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.69814781081102e-05×40589641000000     		ar = 149393.434425483m²