Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27883 / 8675
↖ ↑ ↗
← N 78.661368°
W 26.834106°		 ← 120.09 m → N 78.661368°
W 26.828614°		 →
↑
120.09 m
↓
↑
120.09 m
↓
N 78.660288°
W 26.834106°		 ← 120.10 m →
14 422 m²		 N 78.660288°
W 26.828614°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27883 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8675 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425468444824219 y=0.132377624511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425468444824219 × 216)
    floor (0.425468444824219 × 65536)
    floor (27883.5)     		tx = 27883
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132377624511719 × 216)
    floor (0.132377624511719 × 65536)
    floor (8675.5)     		ty = 8675
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27883 / 8675 ti = "16/27883/8675"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27883/8675.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27883 ÷ 216
    27883 ÷ 65536     		x = 0.425460815429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8675 ÷ 216
    8675 ÷ 65536     		y = 0.132369995117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425460815429688 × 2 - 1) × π
    -0.149078369140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.46834351
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132369995117188 × 2 - 1) × π
    0.735260009765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.30988744509203
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46834351} λ = -0.46834351}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30988744509203))-π/2
    2×atan(10.0732907928857)-π/2
    2×1.4718480978294-π/2
    2.9436961956588-1.57079632675     		φ = 1.37289987
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46834351} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.834106°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37289987 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.661368°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27883 KachelY 8675 -0.46834351 1.37289987 -26.834106 78.661368
    Oben rechts KachelX + 1 27884 KachelY 8675 -0.46824764 1.37289987 -26.828614 78.661368
    Unten links KachelX 27883 KachelY + 1 8676 -0.46834351 1.37288102 -26.834106 78.660288
    Unten rechts KachelX + 1 27884 KachelY + 1 8676 -0.46824764 1.37288102 -26.828614 78.660288
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37289987-1.37288102) × R
    1.88500000000147e-05 × 6371000     		dl = 120.093350000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37289987-1.37288102) × R
    1.88500000000147e-05 × 6371000     		dr = 120.093350000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46834351--0.46824764) × cos(1.37289987) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.196607280379892 × 6371000     		do = 120.085322348997m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46834351--0.46824764) × cos(1.37288102) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.19662576243667 × 6371000     		du = 120.096610963241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37289987)-sin(1.37288102))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196607280379892-0.19662576243667)×R²
    abs(-0.46824764--0.46834351)×1.84820567770971e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.84820567770971e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.84820567770971e-05×40589641000000     		ar = 14422.126490858m²