Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27881 / 6473
↖ ↑ ↗
← N 80.808997°
W 26.845093°		 ← 97.57 m → N 80.808997°
W 26.839599°		 →
↑
97.54 m
↓
↑
97.54 m
↓
N 80.808120°
W 26.845093°		 ← 97.58 m →
9 517 m²		 N 80.808120°
W 26.839599°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27881 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6473 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425437927246094 y=0.0987777709960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425437927246094 × 216)
    floor (0.425437927246094 × 65536)
    floor (27881.5)     		tx = 27881
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0987777709960938 × 216)
    floor (0.0987777709960938 × 65536)
    floor (6473.5)     		ty = 6473
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27881 / 6473 ti = "16/27881/6473"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27881/6473.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27881 ÷ 216
    27881 ÷ 65536     		x = 0.425430297851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6473 ÷ 216
    6473 ÷ 65536     		y = 0.0987701416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425430297851562 × 2 - 1) × π
    -0.149139404296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.46853526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0987701416015625 × 2 - 1) × π
    0.802459716796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.52100155101875
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46853526} λ = -0.46853526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52100155101875))-π/2
    2×atan(12.4410507728995)-π/2
    2×1.49058970033337-π/2
    2.98117940066673-1.57079632675     		φ = 1.41038307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46853526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.845093°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41038307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.808997°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27881 KachelY 6473 -0.46853526 1.41038307 -26.845093 80.808997
    Oben rechts KachelX + 1 27882 KachelY 6473 -0.46843938 1.41038307 -26.839599 80.808997
    Unten links KachelX 27881 KachelY + 1 6474 -0.46853526 1.41036776 -26.845093 80.808120
    Unten rechts KachelX + 1 27882 KachelY + 1 6474 -0.46843938 1.41036776 -26.839599 80.808120
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41038307-1.41036776) × R
    1.53099999999906e-05 × 6371000     		dl = 97.5400099999402m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41038307-1.41036776) × R
    1.53099999999906e-05 × 6371000     		dr = 97.5400099999402m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46853526--0.46843938) × cos(1.41038307) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.15972617138132 × 6371000     		do = 97.5689681830058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46853526--0.46843938) × cos(1.41036776) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.159741284803018 × 6371000     		du = 97.5782002390175m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41038307)-sin(1.41036776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15972617138132-0.159741284803018)×R²
    abs(-0.46843938--0.46853526)×1.51134216975213e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.51134216975213e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.51134216975213e-05×40589641000000     		ar = 9517.32837985648m²