Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27880 / 6434
↖ ↑ ↗
← N 80.843153°
W 26.850586°		 ← 97.20 m → N 80.843153°
W 26.845093°		 →
↑
97.22 m
↓
↑
97.22 m
↓
N 80.842279°
W 26.850586°		 ← 97.21 m →
9 450 m²		 N 80.842279°
W 26.845093°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6434 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425422668457031 y=0.0981826782226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425422668457031 × 216)
    floor (0.425422668457031 × 65536)
    floor (27880.5)     		tx = 27880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0981826782226562 × 216)
    floor (0.0981826782226562 × 65536)
    floor (6434.5)     		ty = 6434
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27880 / 6434 ti = "16/27880/6434"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27880/6434.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27880 ÷ 216
    27880 ÷ 65536     		x = 0.4254150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6434 ÷ 216
    6434 ÷ 65536     		y = 0.098175048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4254150390625 × 2 - 1) × π
    -0.149169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.46863113
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.098175048828125 × 2 - 1) × π
    0.80364990234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.52474062918912
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46863113} λ = -0.46863113}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52474062918912))-π/2
    2×atan(12.4876559100887)-π/2
    2×1.49088776420262-π/2
    2.98177552840523-1.57079632675     		φ = 1.41097920
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46863113} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.850586°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41097920 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.843153°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27880 KachelY 6434 -0.46863113 1.41097920 -26.850586 80.843153
    Oben rechts KachelX + 1 27881 KachelY 6434 -0.46853526 1.41097920 -26.845093 80.843153
    Unten links KachelX 27880 KachelY + 1 6435 -0.46863113 1.41096394 -26.850586 80.842279
    Unten rechts KachelX + 1 27881 KachelY + 1 6435 -0.46853526 1.41096394 -26.845093 80.842279
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41097920-1.41096394) × R
    1.52600000000724e-05 × 6371000     		dl = 97.2214600004615m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41097920-1.41096394) × R
    1.52600000000724e-05 × 6371000     		dr = 97.2214600004615m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46863113--0.46853526) × cos(1.41097920) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.159137666533767 × 6371000     		do = 97.1993404651613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46863113--0.46853526) × cos(1.41096394) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.159152732047931 × 6371000     		du = 97.2085422969612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41097920)-sin(1.41096394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159137666533767-0.159152732047931)×R²
    abs(-0.46853526--0.46863113)×1.50655141634704e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.50655141634704e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.50655141634704e-05×40589641000000     		ar = 9450.30909880448m²