Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27879 / 6471
↖ ↑ ↗
← N 80.810752°
W 26.856079°		 ← 97.54 m → N 80.810752°
W 26.850586°		 →
↑
97.54 m
↓
↑
97.54 m
↓
N 80.809875°
W 26.856079°		 ← 97.55 m →
9 515 m²		 N 80.809875°
W 26.850586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27879 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6471 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425407409667969 y=0.0987472534179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425407409667969 × 216)
    floor (0.425407409667969 × 65536)
    floor (27879.5)     		tx = 27879
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0987472534179688 × 216)
    floor (0.0987472534179688 × 65536)
    floor (6471.5)     		ty = 6471
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27879 / 6471 ti = "16/27879/6471"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27879/6471.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27879 ÷ 216
    27879 ÷ 65536     		x = 0.425399780273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6471 ÷ 216
    6471 ÷ 65536     		y = 0.0987396240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425399780273438 × 2 - 1) × π
    -0.149200439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.46872700
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0987396240234375 × 2 - 1) × π
    0.802520751953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.52119329861723
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46872700} λ = -0.46872700}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52119329861723))-π/2
    2×atan(12.4434365432333)-π/2
    2×1.49060501243866-π/2
    2.98121002487732-1.57079632675     		φ = 1.41041370
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46872700} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.856079°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41041370 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.810752°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27879 KachelY 6471 -0.46872700 1.41041370 -26.856079 80.810752
    Oben rechts KachelX + 1 27880 KachelY 6471 -0.46863113 1.41041370 -26.850586 80.810752
    Unten links KachelX 27879 KachelY + 1 6472 -0.46872700 1.41039839 -26.856079 80.809875
    Unten rechts KachelX + 1 27880 KachelY + 1 6472 -0.46863113 1.41039839 -26.850586 80.809875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41041370-1.41039839) × R
    1.53100000002127e-05 × 6371000     		dl = 97.5400100013548m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41041370-1.41039839) × R
    1.53100000002127e-05 × 6371000     		dr = 97.5400100013548m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46872700--0.46863113) × cos(1.41041370) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.159695934553949 × 6371000     		do = 97.5403237442702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46872700--0.46863113) × cos(1.41039839) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.159711048050546 × 6371000     		du = 97.5495548831536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41041370)-sin(1.41039839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159695934553949-0.159711048050546)×R²
    abs(-0.46863113--0.46872700)×1.51134965970245e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.51134965970245e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.51134965970245e-05×40589641000000     		ar = 9514.53435628747m²