Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27878 / 22019
↖ ↑ ↗
← N 50.726024°
W 26.861572°		 ← 386.69 m → N 50.726024°
W 26.856079°		 →
↑
386.66 m
↓
↑
386.66 m
↓
N 50.722547°
W 26.861572°		 ← 386.72 m →
149 520 m²		 N 50.722547°
W 26.856079°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27878 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22019 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425392150878906 y=0.335990905761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425392150878906 × 216)
    floor (0.425392150878906 × 65536)
    floor (27878.5)     		tx = 27878
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335990905761719 × 216)
    floor (0.335990905761719 × 65536)
    floor (22019.5)     		ty = 22019
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27878 / 22019 ti = "16/27878/22019"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27878/22019.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27878 ÷ 216
    27878 ÷ 65536     		x = 0.425384521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22019 ÷ 216
    22019 ÷ 65536     		y = 0.335983276367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425384521484375 × 2 - 1) × π
    -0.14923095703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.46882288
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335983276367188 × 2 - 1) × π
    0.328033447265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.03054746803197
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46882288} λ = -0.46882288}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03054746803197))-π/2
    2×atan(2.8025997485451)-π/2
    2×1.22806623359923-π/2
    2.45613246719847-1.57079632675     		φ = 0.88533614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46882288} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.861572°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88533614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.726024°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27878 KachelY 22019 -0.46882288 0.88533614 -26.861572 50.726024
    Oben rechts KachelX + 1 27879 KachelY 22019 -0.46872700 0.88533614 -26.856079 50.726024
    Unten links KachelX 27878 KachelY + 1 22020 -0.46882288 0.88527545 -26.861572 50.722547
    Unten rechts KachelX + 1 27879 KachelY + 1 22020 -0.46872700 0.88527545 -26.856079 50.722547
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88533614-0.88527545) × R
    6.06900000000854e-05 × 6371000     		dl = 386.655990000544m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88533614-0.88527545) × R
    6.06900000000854e-05 × 6371000     		dr = 386.655990000544m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46882288--0.46872700) × cos(0.88533614) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.633029321931819 × 6371000     		do = 386.686898185418m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46882288--0.46872700) × cos(0.88527545) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.633076302583213 × 6371000     		du = 386.715596385854m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88533614)-sin(0.88527545))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633029321931819-0.633076302583213)×R²
    abs(-0.46872700--0.46882288)×4.69806513944127e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.69806513944127e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.69806513944127e-05×40589641000000     		ar = 149520.353649862m²