Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27877 / 7301
↖ ↑ ↗
← N 80.053306°
W 26.867065°		 ← 105.50 m → N 80.053306°
W 26.861572°		 →
↑
105.50 m
↓
↑
105.50 m
↓
N 80.052357°
W 26.867065°		 ← 105.51 m →
11 131 m²		 N 80.052357°
W 26.861572°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27877 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7301 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425376892089844 y=0.111412048339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425376892089844 × 216)
    floor (0.425376892089844 × 65536)
    floor (27877.5)     		tx = 27877
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111412048339844 × 216)
    floor (0.111412048339844 × 65536)
    floor (7301.5)     		ty = 7301
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27877 / 7301 ti = "16/27877/7301"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27877/7301.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27877 ÷ 216
    27877 ÷ 65536     		x = 0.425369262695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7301 ÷ 216
    7301 ÷ 65536     		y = 0.111404418945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425369262695312 × 2 - 1) × π
    -0.149261474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.46891875
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111404418945312 × 2 - 1) × π
    0.777191162109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.44161804524794
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46891875} λ = -0.46891875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44161804524794))-π/2
    2×atan(11.491619668566)-π/2
    2×1.4839950508061-π/2
    2.96799010161221-1.57079632675     		φ = 1.39719377
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46891875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.867065°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39719377 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.053306°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27877 KachelY 7301 -0.46891875 1.39719377 -26.867065 80.053306
    Oben rechts KachelX + 1 27878 KachelY 7301 -0.46882288 1.39719377 -26.861572 80.053306
    Unten links KachelX 27877 KachelY + 1 7302 -0.46891875 1.39717721 -26.867065 80.052357
    Unten rechts KachelX + 1 27878 KachelY + 1 7302 -0.46882288 1.39717721 -26.861572 80.052357
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39719377-1.39717721) × R
    1.65599999999433e-05 × 6371000     		dl = 105.503759999639m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39719377-1.39717721) × R
    1.65599999999433e-05 × 6371000     		dr = 105.503759999639m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46891875--0.46882288) × cos(1.39719377) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.17273186862751 × 6371000     		do = 105.502512846927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46891875--0.46882288) × cos(1.39717721) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.172748179688536 × 6371000     		du = 105.512475443518m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39719377)-sin(1.39717721))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17273186862751-0.172748179688536)×R²
    abs(-0.46882288--0.46891875)×1.63110610263417e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.63110610263417e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.63110610263417e-05×40589641000000     		ar = 11131.4373408433m²