Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27875 / 7300
↖ ↑ ↗
← N 80.054255°
W 26.878052°		 ← 105.49 m → N 80.054255°
W 26.872559°		 →
↑
105.50 m
↓
↑
105.50 m
↓
N 80.053306°
W 26.878052°		 ← 105.50 m →
11 130 m²		 N 80.053306°
W 26.872559°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27875 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7300 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425346374511719 y=0.111396789550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425346374511719 × 216)
    floor (0.425346374511719 × 65536)
    floor (27875.5)     		tx = 27875
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111396789550781 × 216)
    floor (0.111396789550781 × 65536)
    floor (7300.5)     		ty = 7300
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27875 / 7300 ti = "16/27875/7300"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27875/7300.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27875 ÷ 216
    27875 ÷ 65536     		x = 0.425338745117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7300 ÷ 216
    7300 ÷ 65536     		y = 0.11138916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425338745117188 × 2 - 1) × π
    -0.149322509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.46911050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11138916015625 × 2 - 1) × π
    0.7772216796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.44171391904718
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46911050} λ = -0.46911050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44171391904718))-π/2
    2×atan(11.492721466619)-π/2
    2×1.48400333064517-π/2
    2.96800666129035-1.57079632675     		φ = 1.39721033
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46911050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.878052°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39721033 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.054255°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27875 KachelY 7300 -0.46911050 1.39721033 -26.878052 80.054255
    Oben rechts KachelX + 1 27876 KachelY 7300 -0.46901463 1.39721033 -26.872559 80.054255
    Unten links KachelX 27875 KachelY + 1 7301 -0.46911050 1.39719377 -26.878052 80.053306
    Unten rechts KachelX + 1 27876 KachelY + 1 7301 -0.46901463 1.39719377 -26.872559 80.053306
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39721033-1.39719377) × R
    1.65600000001653e-05 × 6371000     		dl = 105.503760001053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39721033-1.39719377) × R
    1.65600000001653e-05 × 6371000     		dr = 105.503760001053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46911050--0.46901463) × cos(1.39721033) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.172715557519114 × 6371000     		do = 105.492550221404m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46911050--0.46901463) × cos(1.39719377) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.17273186862751 × 6371000     		du = 105.502512846927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39721033)-sin(1.39719377))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172715557519114-0.17273186862751)×R²
    abs(-0.46901463--0.46911050)×1.63111083954226e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.63111083954226e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.63111083954226e-05×40589641000000     		ar = 11130.3862477736m²