Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27867 / 7775
↖ ↑ ↗
← N 79.593341°
W 26.921997°		 ← 110.33 m → N 79.593341°
W 26.916504°		 →
↑
110.35 m
↓
↑
110.35 m
↓
N 79.592349°
W 26.921997°		 ← 110.34 m →
12 175 m²		 N 79.592349°
W 26.916504°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27867 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7775 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425224304199219 y=0.118644714355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425224304199219 × 216)
    floor (0.425224304199219 × 65536)
    floor (27867.5)     		tx = 27867
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118644714355469 × 216)
    floor (0.118644714355469 × 65536)
    floor (7775.5)     		ty = 7775
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27867 / 7775 ti = "16/27867/7775"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27867/7775.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27867 ÷ 216
    27867 ÷ 65536     		x = 0.425216674804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7775 ÷ 216
    7775 ÷ 65536     		y = 0.118637084960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425216674804688 × 2 - 1) × π
    -0.149566650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.46987749
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118637084960938 × 2 - 1) × π
    0.762725830078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.39617386440813
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46987749} λ = -0.46987749}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39617386440813))-π/2
    2×atan(10.9810807962172)-π/2
    2×1.47998109917022-π/2
    2.95996219834045-1.57079632675     		φ = 1.38916587
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46987749} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.921997°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38916587 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.593341°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27867 KachelY 7775 -0.46987749 1.38916587 -26.921997 79.593341
    Oben rechts KachelX + 1 27868 KachelY 7775 -0.46978162 1.38916587 -26.916504 79.593341
    Unten links KachelX 27867 KachelY + 1 7776 -0.46987749 1.38914855 -26.921997 79.592349
    Unten rechts KachelX + 1 27868 KachelY + 1 7776 -0.46978162 1.38914855 -26.916504 79.592349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38916587-1.38914855) × R
    1.73199999999873e-05 × 6371000     		dl = 110.345719999919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38916587-1.38914855) × R
    1.73199999999873e-05 × 6371000     		dr = 110.345719999919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46987749--0.46978162) × cos(1.38916587) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.180633449384016 × 6371000     		do = 110.328701736669m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46987749--0.46978162) × cos(1.38914855) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.180650484451326 × 6371000     		du = 110.339106547442m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38916587)-sin(1.38914855))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180633449384016-0.180650484451326)×R²
    abs(-0.46978162--0.46987749)×1.70350673096009e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.70350673096009e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.70350673096009e-05×40589641000000     		ar = 12174.8740932845m²