Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27865 / 6571
↖ ↑ ↗
← N 80.722612°
W 26.932984°		 ← 98.48 m → N 80.722612°
W 26.927490°		 →
↑
98.43 m
↓
↑
98.43 m
↓
N 80.721727°
W 26.932984°		 ← 98.49 m →
9 694 m²		 N 80.721727°
W 26.927490°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27865 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6571 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425193786621094 y=0.100273132324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425193786621094 × 216)
    floor (0.425193786621094 × 65536)
    floor (27865.5)     		tx = 27865
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.100273132324219 × 216)
    floor (0.100273132324219 × 65536)
    floor (6571.5)     		ty = 6571
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27865 / 6571 ti = "16/27865/6571"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27865/6571.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27865 ÷ 216
    27865 ÷ 65536     		x = 0.425186157226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6571 ÷ 216
    6571 ÷ 65536     		y = 0.100265502929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425186157226562 × 2 - 1) × π
    -0.149627685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.47006924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.100265502929688 × 2 - 1) × π
    0.799468994140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.51160591869322
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47006924} λ = -0.47006924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51160591869322))-π/2
    2×atan(12.3247066532631)-π/2
    2×1.48983584584752-π/2
    2.97967169169503-1.57079632675     		φ = 1.40887536
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47006924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.932984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40887536 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.722612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27865 KachelY 6571 -0.47006924 1.40887536 -26.932984 80.722612
    Oben rechts KachelX + 1 27866 KachelY 6571 -0.46997336 1.40887536 -26.927490 80.722612
    Unten links KachelX 27865 KachelY + 1 6572 -0.47006924 1.40885991 -26.932984 80.721727
    Unten rechts KachelX + 1 27866 KachelY + 1 6572 -0.46997336 1.40885991 -26.927490 80.721727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40887536-1.40885991) × R
    1.54499999998059e-05 × 6371000     		dl = 98.4319499987634m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40887536-1.40885991) × R
    1.54499999998059e-05 × 6371000     		dr = 98.4319499987634m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47006924--0.46997336) × cos(1.40887536) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.16121434232725 × 6371000     		do = 98.4780196078196m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47006924--0.46997336) × cos(1.40885991) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.161229590213002 × 6371000     		du = 98.4873338013981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40887536)-sin(1.40885991))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16121434232725-0.161229590213002)×R²
    abs(-0.46997336--0.47006924)×1.52478857521066e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.52478857521066e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.52478857521066e-05×40589641000000     		ar = 9693.84190923755m²