Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27865 / 6458
↖ ↑ ↗
← N 80.822149°
W 26.932984°		 ← 97.43 m → N 80.822149°
W 26.927490°		 →
↑
97.41 m
↓
↑
97.41 m
↓
N 80.821273°
W 26.932984°		 ← 97.44 m →
9 491 m²		 N 80.821273°
W 26.927490°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27865 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425193786621094 y=0.0985488891601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425193786621094 × 216)
    floor (0.425193786621094 × 65536)
    floor (27865.5)     		tx = 27865
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0985488891601562 × 216)
    floor (0.0985488891601562 × 65536)
    floor (6458.5)     		ty = 6458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27865 / 6458 ti = "16/27865/6458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27865/6458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27865 ÷ 216
    27865 ÷ 65536     		x = 0.425186157226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6458 ÷ 216
    6458 ÷ 65536     		y = 0.098541259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425186157226562 × 2 - 1) × π
    -0.149627685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.47006924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.098541259765625 × 2 - 1) × π
    0.80291748046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.52243965800735
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47006924} λ = -0.47006924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52243965800735))-π/2
    2×atan(12.4589552061211)-π/2
    2×1.49070447050562-π/2
    2.98140894101125-1.57079632675     		φ = 1.41061261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47006924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.932984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41061261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.822149°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27865 KachelY 6458 -0.47006924 1.41061261 -26.932984 80.822149
    Oben rechts KachelX + 1 27866 KachelY 6458 -0.46997336 1.41061261 -26.927490 80.822149
    Unten links KachelX 27865 KachelY + 1 6459 -0.47006924 1.41059732 -26.932984 80.821273
    Unten rechts KachelX + 1 27866 KachelY + 1 6459 -0.46997336 1.41059732 -26.927490 80.821273
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41061261-1.41059732) × R
    1.52900000001122e-05 × 6371000     		dl = 97.4125900007146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41061261-1.41059732) × R
    1.52900000001122e-05 × 6371000     		dr = 97.4125900007146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47006924--0.46997336) × cos(1.41061261) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.159499574156919 × 6371000     		do = 97.4305509331162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47006924--0.46997336) × cos(1.41059732) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.159514668395653 × 6371000     		du = 97.4397712711862m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41061261)-sin(1.41059732))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159499574156919-0.159514668395653)×R²
    abs(-0.46997336--0.47006924)×1.5094238733776e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.5094238733776e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.5094238733776e-05×40589641000000     		ar = 9491.4114003685m²