Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27864 / 7832
↖ ↑ ↗
← N 79.536631°
W 26.938476°		 ← 110.92 m → N 79.536631°
W 26.932984°		 →
↑
110.92 m
↓
↑
110.92 m
↓
N 79.535634°
W 26.938476°		 ← 110.93 m →
12 304 m²		 N 79.535634°
W 26.932984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7832 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425178527832031 y=0.119514465332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425178527832031 × 216)
    floor (0.425178527832031 × 65536)
    floor (27864.5)     		tx = 27864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119514465332031 × 216)
    floor (0.119514465332031 × 65536)
    floor (7832.5)     		ty = 7832
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27864 / 7832 ti = "16/27864/7832"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27864/7832.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27864 ÷ 216
    27864 ÷ 65536     		x = 0.4251708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7832 ÷ 216
    7832 ÷ 65536     		y = 0.1195068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4251708984375 × 2 - 1) × π
    -0.149658203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.47016511
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1195068359375 × 2 - 1) × π
    0.760986328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.39070905785144
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47016511} λ = -0.47016511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39070905785144))-π/2
    2×atan(10.9212349857081)-π/2
    2×1.47948620701585-π/2
    2.9589724140317-1.57079632675     		φ = 1.38817609
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47016511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.938476°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38817609 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.536631°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27864 KachelY 7832 -0.47016511 1.38817609 -26.938476 79.536631
    Oben rechts KachelX + 1 27865 KachelY 7832 -0.47006924 1.38817609 -26.932984 79.536631
    Unten links KachelX 27864 KachelY + 1 7833 -0.47016511 1.38815868 -26.938476 79.535634
    Unten rechts KachelX + 1 27865 KachelY + 1 7833 -0.47006924 1.38815868 -26.932984 79.535634
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38817609-1.38815868) × R
    1.74099999998845e-05 × 6371000     		dl = 110.919109999264m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38817609-1.38815868) × R
    1.74099999998845e-05 × 6371000     		dr = 110.919109999264m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47016511--0.47006924) × cos(1.38817609) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.181606859344243 × 6371000     		do = 110.923248635572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47016511--0.47006924) × cos(1.38815868) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.181623979809591 × 6371000     		du = 110.933705606423m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38817609)-sin(1.38815868))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181606859344243-0.181623979809591)×R²
    abs(-0.47006924--0.47016511)×1.71204653479362e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.71204653479362e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.71204653479362e-05×40589641000000     		ar = 12304.0879562925m²