Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27864 / 6556
↖ ↑ ↗
← N 80.735886°
W 26.938476°		 ← 98.33 m → N 80.735886°
W 26.932984°		 →
↑
98.30 m
↓
↑
98.30 m
↓
N 80.735002°
W 26.938476°		 ← 98.34 m →
9 667 m²		 N 80.735002°
W 26.932984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6556 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425178527832031 y=0.100044250488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425178527832031 × 216)
    floor (0.425178527832031 × 65536)
    floor (27864.5)     		tx = 27864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.100044250488281 × 216)
    floor (0.100044250488281 × 65536)
    floor (6556.5)     		ty = 6556
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27864 / 6556 ti = "16/27864/6556"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27864/6556.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27864 ÷ 216
    27864 ÷ 65536     		x = 0.4251708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6556 ÷ 216
    6556 ÷ 65536     		y = 0.10003662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4251708984375 × 2 - 1) × π
    -0.149658203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.47016511
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10003662109375 × 2 - 1) × π
    0.7999267578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.51304402568182
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47016511} λ = -0.47016511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51304402568182))-π/2
    2×atan(12.3424436508268)-π/2
    2×1.48995168535448-π/2
    2.97990337070896-1.57079632675     		φ = 1.40910704
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47016511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.938476°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40910704 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.735886°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27864 KachelY 6556 -0.47016511 1.40910704 -26.938476 80.735886
    Oben rechts KachelX + 1 27865 KachelY 6556 -0.47006924 1.40910704 -26.932984 80.735886
    Unten links KachelX 27864 KachelY + 1 6557 -0.47016511 1.40909161 -26.938476 80.735002
    Unten rechts KachelX + 1 27865 KachelY + 1 6557 -0.47006924 1.40909161 -26.932984 80.735002
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40910704-1.40909161) × R
    1.54300000001495e-05 × 6371000     		dl = 98.3045300009524m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40910704-1.40909161) × R
    1.54300000001495e-05 × 6371000     		dr = 98.3045300009524m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47016511--0.47006924) × cos(1.40910704) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.160985688512104 × 6371000     		do = 98.3280896882203m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47016511--0.47006924) × cos(1.40909161) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.161000917235449 × 6371000     		du = 98.3373912061922m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40910704)-sin(1.40909161))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160985688512104-0.161000917235449)×R²
    abs(-0.47006924--0.47016511)×1.52287233450288e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.52287233450288e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.52287233450288e-05×40589641000000     		ar = 9666.5538333871m²