Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27862 / 8678
↖ ↑ ↗
← N 78.658128°
W 26.949463°		 ← 120.12 m → N 78.658128°
W 26.943970°		 →
↑
120.09 m
↓
↑
120.09 m
↓
N 78.657048°
W 26.949463°		 ← 120.13 m →
14 426 m²		 N 78.657048°
W 26.943970°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27862 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8678 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425148010253906 y=0.132423400878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425148010253906 × 216)
    floor (0.425148010253906 × 65536)
    floor (27862.5)     		tx = 27862
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132423400878906 × 216)
    floor (0.132423400878906 × 65536)
    floor (8678.5)     		ty = 8678
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27862 / 8678 ti = "16/27862/8678"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27862/8678.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27862 ÷ 216
    27862 ÷ 65536     		x = 0.425140380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8678 ÷ 216
    8678 ÷ 65536     		y = 0.132415771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425140380859375 × 2 - 1) × π
    -0.14971923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.47035686
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132415771484375 × 2 - 1) × π
    0.73516845703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.30959982369431
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47035686} λ = -0.47035686}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30959982369431))-π/2
    2×atan(10.0703939155302)-π/2
    2×1.47181981961171-π/2
    2.94363963922342-1.57079632675     		φ = 1.37284331
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47035686} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.949463°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37284331 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.658128°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27862 KachelY 8678 -0.47035686 1.37284331 -26.949463 78.658128
    Oben rechts KachelX + 1 27863 KachelY 8678 -0.47026099 1.37284331 -26.943970 78.658128
    Unten links KachelX 27862 KachelY + 1 8679 -0.47035686 1.37282446 -26.949463 78.657048
    Unten rechts KachelX + 1 27863 KachelY + 1 8679 -0.47026099 1.37282446 -26.943970 78.657048
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37284331-1.37282446) × R
    1.88500000000147e-05 × 6371000     		dl = 120.093350000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37284331-1.37282446) × R
    1.88500000000147e-05 × 6371000     		dr = 120.093350000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47035686--0.47026099) × cos(1.37284331) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.196662736145332 × 6371000     		do = 120.119194052303m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47035686--0.47026099) × cos(1.37282446) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.196681217992456 × 6371000     		du = 120.130482538493m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37284331)-sin(1.37282446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196662736145332-0.196681217992456)×R²
    abs(-0.47026099--0.47035686)×1.84818471236636e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.84818471236636e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.84818471236636e-05×40589641000000     		ar = 14426.1942497111m²