Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27859 / 6549
↖ ↑ ↗
← N 80.742075°
W 26.965942°		 ← 98.26 m → N 80.742075°
W 26.960449°		 →
↑
98.30 m
↓
↑
98.30 m
↓
N 80.741191°
W 26.965942°		 ← 98.27 m →
9 660 m²		 N 80.741191°
W 26.960449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27859 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425102233886719 y=0.0999374389648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425102233886719 × 216)
    floor (0.425102233886719 × 65536)
    floor (27859.5)     		tx = 27859
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0999374389648438 × 216)
    floor (0.0999374389648438 × 65536)
    floor (6549.5)     		ty = 6549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27859 / 6549 ti = "16/27859/6549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27859/6549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27859 ÷ 216
    27859 ÷ 65536     		x = 0.425094604492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6549 ÷ 216
    6549 ÷ 65536     		y = 0.0999298095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425094604492188 × 2 - 1) × π
    -0.149810791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.47064448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0999298095703125 × 2 - 1) × π
    0.800140380859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.5137151422765
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47064448} λ = -0.47064448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5137151422765))-π/2
    2×atan(12.3507296497045)-π/2
    2×1.49000568755011-π/2
    2.98001137510022-1.57079632675     		φ = 1.40921505
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47064448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.965942°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40921505 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.742075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27859 KachelY 6549 -0.47064448 1.40921505 -26.965942 80.742075
    Oben rechts KachelX + 1 27860 KachelY 6549 -0.47054861 1.40921505 -26.960449 80.742075
    Unten links KachelX 27859 KachelY + 1 6550 -0.47064448 1.40919962 -26.965942 80.741191
    Unten rechts KachelX + 1 27860 KachelY + 1 6550 -0.47054861 1.40919962 -26.960449 80.741191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40921505-1.40919962) × R
    1.54299999999274e-05 × 6371000     		dl = 98.3045299995378m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40921505-1.40919962) × R
    1.54299999999274e-05 × 6371000     		dr = 98.3045299995378m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47064448--0.47054861) × cos(1.40921505) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.160879086375701 × 6371000     		do = 98.2629784070498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47064448--0.47054861) × cos(1.40919962) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.160894315367268 × 6371000     		du = 98.272280088848m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40921505)-sin(1.40919962))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160879086375701-0.160894315367268)×R²
    abs(-0.47054861--0.47064448)×1.52289915665016e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.52289915665016e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.52289915665016e-05×40589641000000     		ar = 9660.15310749818m²