Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27858 / 7799
↖ ↑ ↗
← N 79.569501°
W 26.971435°		 ← 110.58 m → N 79.569501°
W 26.965942°		 →
↑
110.60 m
↓
↑
110.60 m
↓
N 79.568506°
W 26.971435°		 ← 110.59 m →
12 231 m²		 N 79.568506°
W 26.965942°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27858 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7799 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425086975097656 y=0.119010925292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425086975097656 × 216)
    floor (0.425086975097656 × 65536)
    floor (27858.5)     		tx = 27858
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119010925292969 × 216)
    floor (0.119010925292969 × 65536)
    floor (7799.5)     		ty = 7799
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27858 / 7799 ti = "16/27858/7799"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27858/7799.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27858 ÷ 216
    27858 ÷ 65536     		x = 0.425079345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7799 ÷ 216
    7799 ÷ 65536     		y = 0.119003295898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425079345703125 × 2 - 1) × π
    -0.14984130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.47074035
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.119003295898438 × 2 - 1) × π
    0.761993408203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.39387289322636
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47074035} λ = -0.47074035}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39387289322636))-π/2
    2×atan(10.9558426929699)-π/2
    2×1.47977304766312-π/2
    2.95954609532623-1.57079632675     		φ = 1.38874977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47074035} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.971435°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38874977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.569501°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27858 KachelY 7799 -0.47074035 1.38874977 -26.971435 79.569501
    Oben rechts KachelX + 1 27859 KachelY 7799 -0.47064448 1.38874977 -26.965942 79.569501
    Unten links KachelX 27858 KachelY + 1 7800 -0.47074035 1.38873241 -26.971435 79.568506
    Unten rechts KachelX + 1 27859 KachelY + 1 7800 -0.47064448 1.38873241 -26.965942 79.568506
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38874977-1.38873241) × R
    1.73599999999663e-05 × 6371000     		dl = 110.600559999785m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38874977-1.38873241) × R
    1.73599999999663e-05 × 6371000     		dr = 110.600559999785m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47074035--0.47064448) × cos(1.38874977) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.181042689091738 × 6371000     		do = 110.578660345143m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47074035--0.47064448) × cos(1.38873241) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.181059762194597 × 6371000     		du = 110.589088387566m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38874977)-sin(1.38873241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181042689091738-0.181059762194597)×R²
    abs(-0.47064448--0.47074035)×1.70731028589499e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.70731028589499e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.70731028589499e-05×40589641000000     		ar = 12230.6384323644m²