Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27858 / 7777
↖ ↑ ↗
← N 79.591357°
W 26.971435°		 ← 110.35 m → N 79.591357°
W 26.965942°		 →
↑
110.35 m
↓
↑
110.35 m
↓
N 79.590364°
W 26.971435°		 ← 110.36 m →
12 177 m²		 N 79.590364°
W 26.965942°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27858 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7777 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425086975097656 y=0.118675231933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425086975097656 × 216)
    floor (0.425086975097656 × 65536)
    floor (27858.5)     		tx = 27858
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118675231933594 × 216)
    floor (0.118675231933594 × 65536)
    floor (7777.5)     		ty = 7777
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27858 / 7777 ti = "16/27858/7777"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27858/7777.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27858 ÷ 216
    27858 ÷ 65536     		x = 0.425079345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7777 ÷ 216
    7777 ÷ 65536     		y = 0.118667602539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425079345703125 × 2 - 1) × π
    -0.14984130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.47074035
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118667602539062 × 2 - 1) × π
    0.762664794921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.39598211680965
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47074035} λ = -0.47074035}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39598211680965))-π/2
    2×atan(10.9789754022044)-π/2
    2×1.47996377952218-π/2
    2.95992755904435-1.57079632675     		φ = 1.38913123
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47074035} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.971435°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38913123 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.591357°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27858 KachelY 7777 -0.47074035 1.38913123 -26.971435 79.591357
    Oben rechts KachelX + 1 27859 KachelY 7777 -0.47064448 1.38913123 -26.965942 79.591357
    Unten links KachelX 27858 KachelY + 1 7778 -0.47074035 1.38911391 -26.971435 79.590364
    Unten rechts KachelX + 1 27859 KachelY + 1 7778 -0.47064448 1.38911391 -26.965942 79.590364
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38913123-1.38911391) × R
    1.73199999999873e-05 × 6371000     		dl = 110.345719999919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38913123-1.38911391) × R
    1.73199999999873e-05 × 6371000     		dr = 110.345719999919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47074035--0.47064448) × cos(1.38913123) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.180667519464443 × 6371000     		do = 110.349511325117m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47074035--0.47064448) × cos(1.38911391) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.180684554423364 × 6371000     		du = 110.359916069688m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38913123)-sin(1.38911391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180667519464443-0.180684554423364)×R²
    abs(-0.47064448--0.47074035)×1.70349589205532e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.70349589205532e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.70349589205532e-05×40589641000000     		ar = 12177.1703386875m²