Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27857 / 6512
↖ ↑ ↗
← N 80.774716°
W 26.976929°		 ← 97.93 m → N 80.774716°
W 26.971435°		 →
↑
97.92 m
↓
↑
97.92 m
↓
N 80.773835°
W 26.976929°		 ← 97.94 m →
9 590 m²		 N 80.773835°
W 26.971435°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27857 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6512 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425071716308594 y=0.0993728637695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425071716308594 × 216)
    floor (0.425071716308594 × 65536)
    floor (27857.5)     		tx = 27857
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0993728637695312 × 216)
    floor (0.0993728637695312 × 65536)
    floor (6512.5)     		ty = 6512
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27857 / 6512 ti = "16/27857/6512"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27857/6512.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27857 ÷ 216
    27857 ÷ 65536     		x = 0.425064086914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6512 ÷ 216
    6512 ÷ 65536     		y = 0.099365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425064086914062 × 2 - 1) × π
    -0.149871826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.47083623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.099365234375 × 2 - 1) × π
    0.80126953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.51726247284839
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47083623} λ = -0.47083623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51726247284839))-π/2
    2×atan(12.3946195705807)-π/2
    2×1.49029053425565-π/2
    2.98058106851131-1.57079632675     		φ = 1.40978474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47083623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.976929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40978474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.774716°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27857 KachelY 6512 -0.47083623 1.40978474 -26.976929 80.774716
    Oben rechts KachelX + 1 27858 KachelY 6512 -0.47074035 1.40978474 -26.971435 80.774716
    Unten links KachelX 27857 KachelY + 1 6513 -0.47083623 1.40976937 -26.976929 80.773835
    Unten rechts KachelX + 1 27858 KachelY + 1 6513 -0.47074035 1.40976937 -26.971435 80.773835
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40978474-1.40976937) × R
    1.537000000007e-05 × 6371000     		dl = 97.9222700004463m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40978474-1.40976937) × R
    1.537000000007e-05 × 6371000     		dr = 97.9222700004463m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47083623--0.47074035) × cos(1.40978474) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.160316791011568 × 6371000     		do = 97.9297490583163m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47083623--0.47074035) × cos(1.40976937) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.16033196219112 × 6371000     		du = 97.9390163957988m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40978474)-sin(1.40976937))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160316791011568-0.16033196219112)×R²
    abs(-0.47074035--0.47083623)×1.51711795516873e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.51711795516873e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.51711795516873e-05×40589641000000     		ar = 9589.95706827871m²