Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27855 / 6547
↖ ↑ ↗
← N 80.743842°
W 26.987915°		 ← 98.25 m → N 80.743842°
W 26.982422°		 →
↑
98.24 m
↓
↑
98.24 m
↓
N 80.742958°
W 26.987915°		 ← 98.26 m →
9 653 m²		 N 80.742958°
W 26.982422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27855 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6547 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425041198730469 y=0.0999069213867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425041198730469 × 216)
    floor (0.425041198730469 × 65536)
    floor (27855.5)     		tx = 27855
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0999069213867188 × 216)
    floor (0.0999069213867188 × 65536)
    floor (6547.5)     		ty = 6547
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27855 / 6547 ti = "16/27855/6547"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27855/6547.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27855 ÷ 216
    27855 ÷ 65536     		x = 0.425033569335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6547 ÷ 216
    6547 ÷ 65536     		y = 0.0998992919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425033569335938 × 2 - 1) × π
    -0.149932861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.47102798
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0998992919921875 × 2 - 1) × π
    0.800201416015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.51390688987498
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47102798} λ = -0.47102798}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51390688987498))-π/2
    2×atan(12.3530980995193)-π/2
    2×1.49002111018008-π/2
    2.98004222036017-1.57079632675     		φ = 1.40924589
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47102798} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.987915°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40924589 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.743842°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27855 KachelY 6547 -0.47102798 1.40924589 -26.987915 80.743842
    Oben rechts KachelX + 1 27856 KachelY 6547 -0.47093210 1.40924589 -26.982422 80.743842
    Unten links KachelX 27855 KachelY + 1 6548 -0.47102798 1.40923047 -26.987915 80.742958
    Unten rechts KachelX + 1 27856 KachelY + 1 6548 -0.47093210 1.40923047 -26.982422 80.742958
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40924589-1.40923047) × R
    1.54199999999882e-05 × 6371000     		dl = 98.240819999925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40924589-1.40923047) × R
    1.54199999999882e-05 × 6371000     		dr = 98.240819999925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47102798--0.47093210) × cos(1.40924589) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.160848648017245 × 6371000     		do = 98.2546346973255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47102798--0.47093210) × cos(1.40923047) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.160863867215598 × 6371000     		du = 98.2639313671638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40924589)-sin(1.40923047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160848648017245-0.160863867215598)×R²
    abs(-0.47093210--0.47102798)×1.52191983530392e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.52191983530392e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.52191983530392e-05×40589641000000     		ar = 9653.07253786852m²