Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27850 / 7757
↖ ↑ ↗
← N 79.611187°
W 27.015381°		 ← 110.14 m → N 79.611187°
W 27.009888°		 →
↑
110.15 m
↓
↑
110.15 m
↓
N 79.610196°
W 27.015381°		 ← 110.15 m →
12 133 m²		 N 79.610196°
W 27.009888°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27850 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7757 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424964904785156 y=0.118370056152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424964904785156 × 216)
    floor (0.424964904785156 × 65536)
    floor (27850.5)     		tx = 27850
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118370056152344 × 216)
    floor (0.118370056152344 × 65536)
    floor (7757.5)     		ty = 7757
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27850 / 7757 ti = "16/27850/7757"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27850/7757.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27850 ÷ 216
    27850 ÷ 65536     		x = 0.424957275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7757 ÷ 216
    7757 ÷ 65536     		y = 0.118362426757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424957275390625 × 2 - 1) × π
    -0.15008544921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.47150734
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118362426757812 × 2 - 1) × π
    0.763275146484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.39789959279445
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47150734} λ = -0.47150734}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39789959279445))-π/2
    2×atan(11.0000475200595)-π/2
    2×1.48013682910117-π/2
    2.96027365820233-1.57079632675     		φ = 1.38947733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47150734} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.015381°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38947733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.611187°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27850 KachelY 7757 -0.47150734 1.38947733 -27.015381 79.611187
    Oben rechts KachelX + 1 27851 KachelY 7757 -0.47141147 1.38947733 -27.009888 79.611187
    Unten links KachelX 27850 KachelY + 1 7758 -0.47150734 1.38946004 -27.015381 79.610196
    Unten rechts KachelX + 1 27851 KachelY + 1 7758 -0.47141147 1.38946004 -27.009888 79.610196
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38947733-1.38946004) × R
    1.72900000001697e-05 × 6371000     		dl = 110.154590001081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38947733-1.38946004) × R
    1.72900000001697e-05 × 6371000     		dr = 110.154590001081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47150734--0.47141147) × cos(1.38947733) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.18032710399346 × 6371000     		do = 110.141589718721m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47150734--0.47141147) × cos(1.38946004) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.180344110526307 × 6371000     		du = 110.151977100994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38947733)-sin(1.38946004))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18032710399346-0.180344110526307)×R²
    abs(-0.47141147--0.47150734)×1.70065328470026e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.70065328470026e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.70065328470026e-05×40589641000000     		ar = 12133.1737667345m²