Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27850 / 7756
↖ ↑ ↗
← N 79.612177°
W 27.015381°		 ← 110.13 m → N 79.612177°
W 27.009888°		 →
↑
110.15 m
↓
↑
110.15 m
↓
N 79.611187°
W 27.015381°		 ← 110.14 m →
12 132 m²		 N 79.611187°
W 27.009888°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27850 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7756 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424964904785156 y=0.118354797363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424964904785156 × 216)
    floor (0.424964904785156 × 65536)
    floor (27850.5)     		tx = 27850
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118354797363281 × 216)
    floor (0.118354797363281 × 65536)
    floor (7756.5)     		ty = 7756
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27850 / 7756 ti = "16/27850/7756"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27850/7756.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27850 ÷ 216
    27850 ÷ 65536     		x = 0.424957275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7756 ÷ 216
    7756 ÷ 65536     		y = 0.11834716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424957275390625 × 2 - 1) × π
    -0.15008544921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.47150734
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11834716796875 × 2 - 1) × π
    0.7633056640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.39799546659369
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47150734} λ = -0.47150734}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39799546659369))-π/2
    2×atan(11.0011021869637)-π/2
    2×1.48014547301581-π/2
    2.96029094603161-1.57079632675     		φ = 1.38949462
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47150734} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.015381°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38949462 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.612177°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27850 KachelY 7756 -0.47150734 1.38949462 -27.015381 79.612177
    Oben rechts KachelX + 1 27851 KachelY 7756 -0.47141147 1.38949462 -27.009888 79.612177
    Unten links KachelX 27850 KachelY + 1 7757 -0.47150734 1.38947733 -27.015381 79.611187
    Unten rechts KachelX + 1 27851 KachelY + 1 7757 -0.47141147 1.38947733 -27.009888 79.611187
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38949462-1.38947733) × R
    1.72899999999476e-05 × 6371000     		dl = 110.154589999666m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38949462-1.38947733) × R
    1.72899999999476e-05 × 6371000     		dr = 110.154589999666m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47150734--0.47141147) × cos(1.38949462) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.180310097406705 × 6371000     		do = 110.131202303522m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47150734--0.47141147) × cos(1.38947733) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.18032710399346 × 6371000     		du = 110.141589718721m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38949462)-sin(1.38947733))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180310097406705-0.18032710399346)×R²
    abs(-0.47141147--0.47150734)×1.70065867544644e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.70065867544644e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.70065867544644e-05×40589641000000     		ar = 12132.0295473725m²