Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27849 / 6585
↖ ↑ ↗
← N 80.710206°
W 27.020874°		 ← 98.61 m → N 80.710206°
W 27.015381°		 →
↑
98.56 m
↓
↑
98.56 m
↓
N 80.709319°
W 27.020874°		 ← 98.62 m →
9 719 m²		 N 80.709319°
W 27.015381°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27849 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6585 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424949645996094 y=0.100486755371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424949645996094 × 216)
    floor (0.424949645996094 × 65536)
    floor (27849.5)     		tx = 27849
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.100486755371094 × 216)
    floor (0.100486755371094 × 65536)
    floor (6585.5)     		ty = 6585
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27849 / 6585 ti = "16/27849/6585"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27849/6585.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27849 ÷ 216
    27849 ÷ 65536     		x = 0.424942016601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6585 ÷ 216
    6585 ÷ 65536     		y = 0.100479125976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424942016601562 × 2 - 1) × π
    -0.150115966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.47160322
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.100479125976562 × 2 - 1) × π
    0.799041748046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.51026368550386
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47160322} λ = -0.47160322}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51026368550386))-π/2
    2×atan(12.3081751200122)-π/2
    2×1.48972758053877-π/2
    2.97945516107755-1.57079632675     		φ = 1.40865883
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47160322} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.020874°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40865883 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.710206°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27849 KachelY 6585 -0.47160322 1.40865883 -27.020874 80.710206
    Oben rechts KachelX + 1 27850 KachelY 6585 -0.47150734 1.40865883 -27.015381 80.710206
    Unten links KachelX 27849 KachelY + 1 6586 -0.47160322 1.40864336 -27.020874 80.709319
    Unten rechts KachelX + 1 27850 KachelY + 1 6586 -0.47150734 1.40864336 -27.015381 80.709319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40865883-1.40864336) × R
    1.54700000001284e-05 × 6371000     		dl = 98.5593700008183m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40865883-1.40864336) × R
    1.54700000001284e-05 × 6371000     		dr = 98.5593700008183m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47160322--0.47150734) × cos(1.40865883) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.161428036207675 × 6371000     		do = 98.6085548309446m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47160322--0.47150734) × cos(1.40864336) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.16144330329136 × 6371000     		du = 98.6178807516086m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40865883)-sin(1.40864336))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161428036207675-0.16144330329136)×R²
    abs(-0.47150734--0.47160322)×1.52670836846558e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.52670836846558e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.52670836846558e-05×40589641000000     		ar = 9719.25661933328m²