Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27848 / 8663
↖ ↑ ↗
← N 78.674321°
W 27.026367°		 ← 119.95 m → N 78.674321°
W 27.020874°		 →
↑
119.97 m
↓
↑
119.97 m
↓
N 78.673242°
W 27.026367°		 ← 119.96 m →
14 391 m²		 N 78.673242°
W 27.020874°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27848 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8663 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424934387207031 y=0.132194519042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424934387207031 × 216)
    floor (0.424934387207031 × 65536)
    floor (27848.5)     		tx = 27848
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132194519042969 × 216)
    floor (0.132194519042969 × 65536)
    floor (8663.5)     		ty = 8663
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27848 / 8663 ti = "16/27848/8663"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27848/8663.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27848 ÷ 216
    27848 ÷ 65536     		x = 0.4249267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8663 ÷ 216
    8663 ÷ 65536     		y = 0.132186889648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4249267578125 × 2 - 1) × π
    -0.150146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.47169909
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132186889648438 × 2 - 1) × π
    0.735626220703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.31103793068291
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47169909} λ = -0.47169909}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31103793068291))-π/2
    2×atan(10.084886637943)-π/2
    2×1.47196113098622-π/2
    2.94392226197244-1.57079632675     		φ = 1.37312594
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47169909} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.026367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37312594 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.674321°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27848 KachelY 8663 -0.47169909 1.37312594 -27.026367 78.674321
    Oben rechts KachelX + 1 27849 KachelY 8663 -0.47160322 1.37312594 -27.020874 78.674321
    Unten links KachelX 27848 KachelY + 1 8664 -0.47169909 1.37310711 -27.026367 78.673242
    Unten rechts KachelX + 1 27849 KachelY + 1 8664 -0.47160322 1.37310711 -27.020874 78.673242
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37312594-1.37310711) × R
    1.88299999999142e-05 × 6371000     		dl = 119.965929999453m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37312594-1.37310711) × R
    1.88299999999142e-05 × 6371000     		dr = 119.965929999453m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47169909--0.47160322) × cos(1.37312594) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.196385617719922 × 6371000     		do = 119.949933507221m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47169909--0.47160322) × cos(1.37310711) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.196404081003632 × 6371000     		du = 119.961210655105m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37312594)-sin(1.37310711))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196385617719922-0.196404081003632)×R²
    abs(-0.47160322--0.47169909)×1.84632837093857e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.84632837093857e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.84632837093857e-05×40589641000000     		ar = 14390.581764097m²