Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27846 / 9030
↖ ↑ ↗
← N 78.271504°
W 27.037354°		 ← 124.16 m → N 78.271504°
W 27.031861°		 →
↑
124.17 m
↓
↑
124.17 m
↓
N 78.270387°
W 27.037354°		 ← 124.17 m →
15 417 m²		 N 78.270387°
W 27.031861°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27846 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9030 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424903869628906 y=0.137794494628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424903869628906 × 216)
    floor (0.424903869628906 × 65536)
    floor (27846.5)     		tx = 27846
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137794494628906 × 216)
    floor (0.137794494628906 × 65536)
    floor (9030.5)     		ty = 9030
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27846 / 9030 ti = "16/27846/9030"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27846/9030.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27846 ÷ 216
    27846 ÷ 65536     		x = 0.424896240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9030 ÷ 216
    9030 ÷ 65536     		y = 0.137786865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424896240234375 × 2 - 1) × π
    -0.15020751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.47189084
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137786865234375 × 2 - 1) × π
    0.72442626953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.27585224636179
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47189084} λ = -0.47189084}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27585224636179))-π/2
    2×atan(9.73621312995976)-π/2
    2×1.46844588778517-π/2
    2.93689177557034-1.57079632675     		φ = 1.36609545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47189084} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.037354°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36609545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.271504°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27846 KachelY 9030 -0.47189084 1.36609545 -27.037354 78.271504
    Oben rechts KachelX + 1 27847 KachelY 9030 -0.47179497 1.36609545 -27.031861 78.271504
    Unten links KachelX 27846 KachelY + 1 9031 -0.47189084 1.36607596 -27.037354 78.270387
    Unten rechts KachelX + 1 27847 KachelY + 1 9031 -0.47179497 1.36607596 -27.031861 78.270387
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36609545-1.36607596) × R
    1.94899999998999e-05 × 6371000     		dl = 124.170789999362m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36609545-1.36607596) × R
    1.94899999998999e-05 × 6371000     		dr = 124.170789999362m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47189084--0.47179497) × cos(1.36609545) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.20327429094241 × 6371000     		do = 124.157450863043m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47189084--0.47179497) × cos(1.36607596) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.203293373988314 × 6371000     		du = 124.169106554095m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36609545)-sin(1.36607596))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20327429094241-0.203293373988314)×R²
    abs(-0.47179497--0.47189084)×1.90830459038671e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.90830459038671e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.90830459038671e-05×40589641000000     		ar = 15417.4524068062m²