Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27845 / 6551
↖ ↑ ↗
← N 80.740307°
W 27.042846°		 ← 98.28 m → N 80.740307°
W 27.037354°		 →
↑
98.30 m
↓
↑
98.30 m
↓
N 80.739423°
W 27.042846°		 ← 98.29 m →
9 662 m²		 N 80.739423°
W 27.037354°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27845 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6551 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424888610839844 y=0.0999679565429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424888610839844 × 216)
    floor (0.424888610839844 × 65536)
    floor (27845.5)     		tx = 27845
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0999679565429688 × 216)
    floor (0.0999679565429688 × 65536)
    floor (6551.5)     		ty = 6551
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27845 / 6551 ti = "16/27845/6551"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27845/6551.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27845 ÷ 216
    27845 ÷ 65536     		x = 0.424880981445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6551 ÷ 216
    6551 ÷ 65536     		y = 0.0999603271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424880981445312 × 2 - 1) × π
    -0.150238037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.47198671
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0999603271484375 × 2 - 1) × π
    0.800079345703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.51352339467802
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47198671} λ = -0.47198671}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51352339467802))-π/2
    2×atan(12.3483616539906)-π/2
    2×1.48999026200112-π/2
    2.97998052400225-1.57079632675     		φ = 1.40918420
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47198671} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.042846°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40918420 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.740307°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27845 KachelY 6551 -0.47198671 1.40918420 -27.042846 80.740307
    Oben rechts KachelX + 1 27846 KachelY 6551 -0.47189084 1.40918420 -27.037354 80.740307
    Unten links KachelX 27845 KachelY + 1 6552 -0.47198671 1.40916877 -27.042846 80.739423
    Unten rechts KachelX + 1 27846 KachelY + 1 6552 -0.47189084 1.40916877 -27.037354 80.739423
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40918420-1.40916877) × R
    1.54300000001495e-05 × 6371000     		dl = 98.3045300009524m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40918420-1.40916877) × R
    1.54300000001495e-05 × 6371000     		dr = 98.3045300009524m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47198671--0.47189084) × cos(1.40918420) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.160909534450836 × 6371000     		do = 98.2815757189623m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47198671--0.47189084) × cos(1.40916877) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.160924763365811 × 6371000     		du = 98.2908773539793m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40918420)-sin(1.40916877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160909534450836-0.160924763365811)×R²
    abs(-0.47189084--0.47198671)×1.52289149749074e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.52289149749074e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.52289149749074e-05×40589641000000     		ar = 9661.98130512748m²