Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27845 / 22067
↖ ↑ ↗
← N 50.558815°
W 27.042846°		 ← 388.02 m → N 50.558815°
W 27.037354°		 →
↑
387.99 m
↓
↑
387.99 m
↓
N 50.555325°
W 27.042846°		 ← 388.05 m →
150 557 m²		 N 50.555325°
W 27.037354°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27845 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424888610839844 y=0.336723327636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424888610839844 × 216)
    floor (0.424888610839844 × 65536)
    floor (27845.5)     		tx = 27845
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336723327636719 × 216)
    floor (0.336723327636719 × 65536)
    floor (22067.5)     		ty = 22067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27845 / 22067 ti = "16/27845/22067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27845/22067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27845 ÷ 216
    27845 ÷ 65536     		x = 0.424880981445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22067 ÷ 216
    22067 ÷ 65536     		y = 0.336715698242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424880981445312 × 2 - 1) × π
    -0.150238037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.47198671
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336715698242188 × 2 - 1) × π
    0.326568603515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.02594552566844
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47198671} λ = -0.47198671}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02594552566844))-π/2
    2×atan(2.78973197711482)-π/2
    2×1.22660705582768-π/2
    2.45321411165535-1.57079632675     		φ = 0.88241778
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47198671} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.042846°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88241778 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.558815°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27845 KachelY 22067 -0.47198671 0.88241778 -27.042846 50.558815
    Oben rechts KachelX + 1 27846 KachelY 22067 -0.47189084 0.88241778 -27.037354 50.558815
    Unten links KachelX 27845 KachelY + 1 22068 -0.47198671 0.88235688 -27.042846 50.555325
    Unten rechts KachelX + 1 27846 KachelY + 1 22068 -0.47189084 0.88235688 -27.037354 50.555325
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88241778-0.88235688) × R
    6.09000000000304e-05 × 6371000     		dl = 387.993900000193m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88241778-0.88235688) × R
    6.09000000000304e-05 × 6371000     		dr = 387.993900000193m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47198671--0.47189084) × cos(0.88241778) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.635285806683885 × 6371000     		do = 388.024801177093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47198671--0.47189084) × cos(0.88235688) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.63533283718214 × 6371000     		du = 388.053526830244m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88241778)-sin(0.88235688))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635285806683885-0.63533283718214)×R²
    abs(-0.47189084--0.47198671)×4.70304982553849e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.70304982553849e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.70304982553849e-05×40589641000000     		ar = 150556.828641336m²