Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27844 / 8643
↖ ↑ ↗
← N 78.695876°
W 27.048340°		 ← 119.74 m → N 78.695876°
W 27.042846°		 →
↑
119.77 m
↓
↑
119.77 m
↓
N 78.694799°
W 27.048340°		 ← 119.75 m →
14 342 m²		 N 78.694799°
W 27.042846°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27844 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8643 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424873352050781 y=0.131889343261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424873352050781 × 216)
    floor (0.424873352050781 × 65536)
    floor (27844.5)     		tx = 27844
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131889343261719 × 216)
    floor (0.131889343261719 × 65536)
    floor (8643.5)     		ty = 8643
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27844 / 8643 ti = "16/27844/8643"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27844/8643.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27844 ÷ 216
    27844 ÷ 65536     		x = 0.42486572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8643 ÷ 216
    8643 ÷ 65536     		y = 0.131881713867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42486572265625 × 2 - 1) × π
    -0.1502685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.47208259
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131881713867188 × 2 - 1) × π
    0.736236572265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.31295540666771
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47208259} λ = -0.47208259}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31295540666771))-π/2
    2×atan(10.1042427173588)-π/2
    2×1.47214923645179-π/2
    2.94429847290359-1.57079632675     		φ = 1.37350215
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47208259} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.048340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37350215 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.695876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27844 KachelY 8643 -0.47208259 1.37350215 -27.048340 78.695876
    Oben rechts KachelX + 1 27845 KachelY 8643 -0.47198671 1.37350215 -27.042846 78.695876
    Unten links KachelX 27844 KachelY + 1 8644 -0.47208259 1.37348335 -27.048340 78.694799
    Unten rechts KachelX + 1 27845 KachelY + 1 8644 -0.47198671 1.37348335 -27.042846 78.694799
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37350215-1.37348335) × R
    1.87999999998745e-05 × 6371000     		dl = 119.7747999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37350215-1.37348335) × R
    1.87999999998745e-05 × 6371000     		dr = 119.7747999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47208259--0.47198671) × cos(1.37350215) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.196016719865902 × 6371000     		do = 119.737103434892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47208259--0.47198671) × cos(1.37348335) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.196035155121667 × 6371000     		du = 119.74836463816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37350215)-sin(1.37348335))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196016719865902-0.196035155121667)×R²
    abs(-0.47198671--0.47208259)×1.84352557645873e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.84352557645873e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.84352557645873e-05×40589641000000     		ar = 14342.1620209573m²