Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27843 / 8644
↖ ↑ ↗
← N 78.694799°
W 27.053833°		 ← 119.74 m → N 78.694799°
W 27.048340°		 →
↑
119.71 m
↓
↑
119.71 m
↓
N 78.693723°
W 27.053833°		 ← 119.75 m →
14 334 m²		 N 78.693723°
W 27.048340°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27843 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8644 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424858093261719 y=0.131904602050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424858093261719 × 216)
    floor (0.424858093261719 × 65536)
    floor (27843.5)     		tx = 27843
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131904602050781 × 216)
    floor (0.131904602050781 × 65536)
    floor (8644.5)     		ty = 8644
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27843 / 8644 ti = "16/27843/8644"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27843/8644.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27843 ÷ 216
    27843 ÷ 65536     		x = 0.424850463867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8644 ÷ 216
    8644 ÷ 65536     		y = 0.13189697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424850463867188 × 2 - 1) × π
    -0.150299072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.47217846
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13189697265625 × 2 - 1) × π
    0.7362060546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.31285953286847
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47217846} λ = -0.47217846}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31285953286847))-π/2
    2×atan(10.1032740316576)-π/2
    2×1.47213983957608-π/2
    2.94427967915215-1.57079632675     		φ = 1.37348335
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47217846} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.053833°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37348335 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.694799°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27843 KachelY 8644 -0.47217846 1.37348335 -27.053833 78.694799
    Oben rechts KachelX + 1 27844 KachelY 8644 -0.47208259 1.37348335 -27.048340 78.694799
    Unten links KachelX 27843 KachelY + 1 8645 -0.47217846 1.37346456 -27.053833 78.693723
    Unten rechts KachelX + 1 27844 KachelY + 1 8645 -0.47208259 1.37346456 -27.048340 78.693723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37348335-1.37346456) × R
    1.87900000001573e-05 × 6371000     		dl = 119.711090001002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37348335-1.37346456) × R
    1.87900000001573e-05 × 6371000     		dr = 119.711090001002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47217846--0.47208259) × cos(1.37348335) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.196035155121667 × 6371000     		do = 119.735875238364m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47217846--0.47208259) × cos(1.37346456) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.196053580502213 × 6371000     		du = 119.74712923546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37348335)-sin(1.37346456))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196035155121667-0.196053580502213)×R²
    abs(-0.47208259--0.47217846)×1.84253805463885e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.84253805463885e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.84253805463885e-05×40589641000000     		ar = 14334.3857515285m²