Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27841 / 6461
↖ ↑ ↗
← N 80.819520°
W 27.064819°		 ← 97.45 m → N 80.819520°
W 27.059326°		 →
↑
97.41 m
↓
↑
97.41 m
↓
N 80.818644°
W 27.064819°		 ← 97.46 m →
9 493 m²		 N 80.818644°
W 27.059326°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27841 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6461 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424827575683594 y=0.0985946655273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424827575683594 × 216)
    floor (0.424827575683594 × 65536)
    floor (27841.5)     		tx = 27841
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0985946655273438 × 216)
    floor (0.0985946655273438 × 65536)
    floor (6461.5)     		ty = 6461
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27841 / 6461 ti = "16/27841/6461"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27841/6461.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27841 ÷ 216
    27841 ÷ 65536     		x = 0.424819946289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6461 ÷ 216
    6461 ÷ 65536     		y = 0.0985870361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424819946289062 × 2 - 1) × π
    -0.150360107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.47237021
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0985870361328125 × 2 - 1) × π
    0.802825927734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.52215203660963
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47237021} λ = -0.47237021}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52215203660963))-π/2
    2×atan(12.4553722593013)-π/2
    2×1.49068152950423-π/2
    2.98136305900846-1.57079632675     		φ = 1.41056673
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47237021} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.064819°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41056673 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.819520°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27841 KachelY 6461 -0.47237021 1.41056673 -27.064819 80.819520
    Oben rechts KachelX + 1 27842 KachelY 6461 -0.47227434 1.41056673 -27.059326 80.819520
    Unten links KachelX 27841 KachelY + 1 6462 -0.47237021 1.41055144 -27.064819 80.818644
    Unten rechts KachelX + 1 27842 KachelY + 1 6462 -0.47227434 1.41055144 -27.059326 80.818644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41056673-1.41055144) × R
    1.52899999998901e-05 × 6371000     		dl = 97.4125899992999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41056673-1.41055144) × R
    1.52899999998901e-05 × 6371000     		dr = 97.4125899992999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47237021--0.47227434) × cos(1.41056673) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.159544866633147 × 6371000     		do = 97.4480533058053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47237021--0.47227434) × cos(1.41055144) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.15955996075997 × 6371000     		du = 97.4572726138674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41056673)-sin(1.41055144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159544866633147-0.15955996075997)×R²
    abs(-0.47227434--0.47237021)×1.50941268226013e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.50941268226013e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.50941268226013e-05×40589641000000     		ar = 9493.11630140067m²