Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27840 / 6592
↖ ↑ ↗
← N 80.703997°
W 27.070312°		 ← 98.66 m → N 80.703997°
W 27.064819°		 →
↑
98.69 m
↓
↑
98.69 m
↓
N 80.703109°
W 27.070312°		 ← 98.67 m →
9 737 m²		 N 80.703109°
W 27.064819°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6592 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424812316894531 y=0.100593566894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424812316894531 × 216)
    floor (0.424812316894531 × 65536)
    floor (27840.5)     		tx = 27840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.100593566894531 × 216)
    floor (0.100593566894531 × 65536)
    floor (6592.5)     		ty = 6592
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27840 / 6592 ti = "16/27840/6592"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27840/6592.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27840 ÷ 216
    27840 ÷ 65536     		x = 0.4248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6592 ÷ 216
    6592 ÷ 65536     		y = 0.1005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4248046875 × 2 - 1) × π
    -0.150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.47246608
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1005859375 × 2 - 1) × π
    0.798828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.50959256890918
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47246608} λ = -0.47246608}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50959256890918))-π/2
    2×atan(12.2999176706045)-π/2
    2×1.48967339408107-π/2
    2.97934678816213-1.57079632675     		φ = 1.40855046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47246608} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.070312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40855046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.703997°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27840 KachelY 6592 -0.47246608 1.40855046 -27.070312 80.703997
    Oben rechts KachelX + 1 27841 KachelY 6592 -0.47237021 1.40855046 -27.064819 80.703997
    Unten links KachelX 27840 KachelY + 1 6593 -0.47246608 1.40853497 -27.070312 80.703109
    Unten rechts KachelX + 1 27841 KachelY + 1 6593 -0.47237021 1.40853497 -27.064819 80.703109
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40855046-1.40853497) × R
    1.54900000000069e-05 × 6371000     		dl = 98.6867900000439m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40855046-1.40853497) × R
    1.54900000000069e-05 × 6371000     		dr = 98.6867900000439m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47246608--0.47237021) × cos(1.40855046) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.161534983931327 × 6371000     		do = 98.6635926123988m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47246608--0.47237021) × cos(1.40853497) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.161550270481567 × 6371000     		du = 98.6729294503311m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40855046)-sin(1.40853497))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161534983931327-0.161550270481567)×R²
    abs(-0.47237021--0.47246608)×1.52865502403288e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.52865502403288e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.52865502403288e-05×40589641000000     		ar = 9737.25395644778m²