Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27840 / 6462
↖ ↑ ↗
← N 80.818644°
W 27.070312°		 ← 97.46 m → N 80.818644°
W 27.064819°		 →
↑
97.48 m
↓
↑
97.48 m
↓
N 80.817768°
W 27.070312°		 ← 97.47 m →
9 500 m²		 N 80.817768°
W 27.064819°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6462 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424812316894531 y=0.0986099243164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424812316894531 × 216)
    floor (0.424812316894531 × 65536)
    floor (27840.5)     		tx = 27840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0986099243164062 × 216)
    floor (0.0986099243164062 × 65536)
    floor (6462.5)     		ty = 6462
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27840 / 6462 ti = "16/27840/6462"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27840/6462.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27840 ÷ 216
    27840 ÷ 65536     		x = 0.4248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6462 ÷ 216
    6462 ÷ 65536     		y = 0.098602294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4248046875 × 2 - 1) × π
    -0.150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.47246608
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.098602294921875 × 2 - 1) × π
    0.80279541015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.52205616281039
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47246608} λ = -0.47246608}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52205616281039))-π/2
    2×atan(12.4541781726836)-π/2
    2×1.49067388105614-π/2
    2.98134776211228-1.57079632675     		φ = 1.41055144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47246608} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.070312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41055144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.818644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27840 KachelY 6462 -0.47246608 1.41055144 -27.070312 80.818644
    Oben rechts KachelX + 1 27841 KachelY 6462 -0.47237021 1.41055144 -27.064819 80.818644
    Unten links KachelX 27840 KachelY + 1 6463 -0.47246608 1.41053614 -27.070312 80.817768
    Unten rechts KachelX + 1 27841 KachelY + 1 6463 -0.47237021 1.41053614 -27.064819 80.817768
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41055144-1.41053614) × R
    1.53000000000514e-05 × 6371000     		dl = 97.4763000003274m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41055144-1.41053614) × R
    1.53000000000514e-05 × 6371000     		dr = 97.4763000003274m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47246608--0.47237021) × cos(1.41055144) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.15955996075997 × 6371000     		do = 97.4572726138674m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47246608--0.47237021) × cos(1.41053614) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.159575064721348 × 6371000     		du = 97.4664979287557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41055144)-sin(1.41053614))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15955996075997-0.159575064721348)×R²
    abs(-0.47237021--0.47246608)×1.51039613781601e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.51039613781601e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.51039613781601e-05×40589641000000     		ar = 9500.22396764797m²