Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 27840 / 21824
↖ ↑ ↗
← N 75.973553°
W103.535156°		 ← 74.03 m → N 75.973553°
W103.532410°		 →
↑
74.03 m
↓
↑
74.03 m
↓
N 75.972887°
W103.535156°		 ← 74.03 m →
5 480 m²		 N 75.972887°
W103.532410°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.212406158447266 y=0.166507720947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.212406158447266 × 217)
    floor (0.212406158447266 × 131072)
    floor (27840.5)     		tx = 27840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.166507720947266 × 217)
    floor (0.166507720947266 × 131072)
    floor (21824.5)     		ty = 21824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 27840 / 21824 ti = "17/27840/21824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/27840/21824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27840 ÷ 217
    27840 ÷ 131072     		x = 0.21240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21824 ÷ 217
    21824 ÷ 131072     		y = 0.16650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.21240234375 × 2 - 1) × π
    -0.5751953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.80702937
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16650390625 × 2 - 1) × π
    0.6669921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.09541775619189
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.80702937} λ = -1.80702937}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09541775619189))-π/2
    2×atan(8.12883613261549)-π/2
    2×1.44839248512803-π/2
    2.89678497025606-1.57079632675     		φ = 1.32598864
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.80702937} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.535156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32598864 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.973553°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27840 KachelY 21824 -1.80702937 1.32598864 -103.535156 75.973553
    Oben rechts KachelX + 1 27841 KachelY 21824 -1.80698143 1.32598864 -103.532410 75.973553
    Unten links KachelX 27840 KachelY + 1 21825 -1.80702937 1.32597702 -103.535156 75.972887
    Unten rechts KachelX + 1 27841 KachelY + 1 21825 -1.80698143 1.32597702 -103.532410 75.972887
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32598864-1.32597702) × R
    1.161999999999e-05 × 6371000     		dl = 74.0310199999361m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32598864-1.32597702) × R
    1.161999999999e-05 × 6371000     		dr = 74.0310199999361m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.80702937--1.80698143) × cos(1.32598864) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.24236975008597 × 6371000     		do = 74.0259602735739m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.80702937--1.80698143) × cos(1.32597702) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.24238102360715 × 6371000     		du = 74.0294034971227m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32598864)-sin(1.32597702))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.24236975008597-0.24238102360715)×R²
    abs(-1.80698143--1.80702937)×1.12735211801884e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.12735211801884e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.12735211801884e-05×40589641000000     		ar = 5480.34479824471m²