Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27838 / 6454
↖ ↑ ↗
← N 80.825653°
W 27.081299°		 ← 97.38 m → N 80.825653°
W 27.075806°		 →
↑
97.41 m
↓
↑
97.41 m
↓
N 80.824777°
W 27.081299°		 ← 97.39 m →
9 487 m²		 N 80.824777°
W 27.075806°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27838 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6454 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424781799316406 y=0.0984878540039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424781799316406 × 216)
    floor (0.424781799316406 × 65536)
    floor (27838.5)     		tx = 27838
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0984878540039062 × 216)
    floor (0.0984878540039062 × 65536)
    floor (6454.5)     		ty = 6454
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27838 / 6454 ti = "16/27838/6454"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27838/6454.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27838 ÷ 216
    27838 ÷ 65536     		x = 0.424774169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6454 ÷ 216
    6454 ÷ 65536     		y = 0.098480224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424774169921875 × 2 - 1) × π
    -0.15045166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.47265783
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.098480224609375 × 2 - 1) × π
    0.80303955078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.52282315320432
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47265783} λ = -0.47265783}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52282315320432))-π/2
    2×atan(12.4637340718792)-π/2
    2×1.49073504837657-π/2
    2.98147009675314-1.57079632675     		φ = 1.41067377
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47265783} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.081299°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41067377 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.825653°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27838 KachelY 6454 -0.47265783 1.41067377 -27.081299 80.825653
    Oben rechts KachelX + 1 27839 KachelY 6454 -0.47256196 1.41067377 -27.075806 80.825653
    Unten links KachelX 27838 KachelY + 1 6455 -0.47265783 1.41065848 -27.081299 80.824777
    Unten rechts KachelX + 1 27839 KachelY + 1 6455 -0.47256196 1.41065848 -27.075806 80.824777
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41067377-1.41065848) × R
    1.52900000001122e-05 × 6371000     		dl = 97.4125900007146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41067377-1.41065848) × R
    1.52900000001122e-05 × 6371000     		dr = 97.4125900007146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47265783--0.47256196) × cos(1.41067377) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.159439196829135 × 6371000     		do = 97.3835114818563m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47265783--0.47256196) × cos(1.41065848) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.159454291217001 × 6371000     		du = 97.3927309493607m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41067377)-sin(1.41065848))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159439196829135-0.159454291217001)×R²
    abs(-0.47256196--0.47265783)×1.50943878664545e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.50943878664545e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.50943878664545e-05×40589641000000     		ar = 9486.82912272837m²