Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27837 / 6467
↖ ↑ ↗
← N 80.814261°
W 27.086792°		 ← 97.50 m → N 80.814261°
W 27.081299°		 →
↑
97.54 m
↓
↑
97.54 m
↓
N 80.813383°
W 27.086792°		 ← 97.51 m →
9 511 m²		 N 80.813383°
W 27.081299°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27837 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6467 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424766540527344 y=0.0986862182617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424766540527344 × 216)
    floor (0.424766540527344 × 65536)
    floor (27837.5)     		tx = 27837
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0986862182617188 × 216)
    floor (0.0986862182617188 × 65536)
    floor (6467.5)     		ty = 6467
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27837 / 6467 ti = "16/27837/6467"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27837/6467.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27837 ÷ 216
    27837 ÷ 65536     		x = 0.424758911132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6467 ÷ 216
    6467 ÷ 65536     		y = 0.0986785888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424758911132812 × 2 - 1) × π
    -0.150482177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.47275370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0986785888671875 × 2 - 1) × π
    0.802642822265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.52157679381419
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47275370} λ = -0.47275370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52157679381419))-π/2
    2×atan(12.4482094565175)-π/2
    2×1.49063562795546-π/2
    2.98127125591092-1.57079632675     		φ = 1.41047493
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47275370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.086792°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41047493 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.814261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27837 KachelY 6467 -0.47275370 1.41047493 -27.086792 80.814261
    Oben rechts KachelX + 1 27838 KachelY 6467 -0.47265783 1.41047493 -27.081299 80.814261
    Unten links KachelX 27837 KachelY + 1 6468 -0.47275370 1.41045962 -27.086792 80.813383
    Unten rechts KachelX + 1 27838 KachelY + 1 6468 -0.47265783 1.41045962 -27.081299 80.813383
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41047493-1.41045962) × R
    1.53099999999906e-05 × 6371000     		dl = 97.5400099999402m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41047493-1.41045962) × R
    1.53099999999906e-05 × 6371000     		dr = 97.5400099999402m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47275370--0.47265783) × cos(1.41047493) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.159635490065036 × 6371000     		do = 97.5034049896785m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47275370--0.47265783) × cos(1.41045962) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.159650603711316 × 6371000     		du = 97.5126362199862m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41047493)-sin(1.41045962))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159635490065036-0.159650603711316)×R²
    abs(-0.47265783--0.47275370)×1.51136462795409e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.51136462795409e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.51136462795409e-05×40589641000000     		ar = 9510.9333050688m²