Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27836 / 21364
↖ ↑ ↗
← N 52.948638°
W 27.092285°		 ← 368.06 m → N 52.948638°
W 27.086792°		 →
↑
368.05 m
↓
↑
368.05 m
↓
N 52.945328°
W 27.092285°		 ← 368.08 m →
135 469 m²		 N 52.945328°
W 27.086792°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27836 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21364 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424751281738281 y=0.325996398925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424751281738281 × 216)
    floor (0.424751281738281 × 65536)
    floor (27836.5)     		tx = 27836
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325996398925781 × 216)
    floor (0.325996398925781 × 65536)
    floor (21364.5)     		ty = 21364
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27836 / 21364 ti = "16/27836/21364"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27836/21364.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27836 ÷ 216
    27836 ÷ 65536     		x = 0.42474365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21364 ÷ 216
    21364 ÷ 65536     		y = 0.32598876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42474365234375 × 2 - 1) × π
    -0.1505126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.47284958
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32598876953125 × 2 - 1) × π
    0.3480224609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.09334480653424
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47284958} λ = -0.47284958}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09334480653424))-π/2
    2×atan(2.98423910016982)-π/2
    2×1.24746219615674-π/2
    2.49492439231349-1.57079632675     		φ = 0.92412807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47284958} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.092285°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92412807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.948638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27836 KachelY 21364 -0.47284958 0.92412807 -27.092285 52.948638
    Oben rechts KachelX + 1 27837 KachelY 21364 -0.47275370 0.92412807 -27.086792 52.948638
    Unten links KachelX 27836 KachelY + 1 21365 -0.47284958 0.92407030 -27.092285 52.945328
    Unten rechts KachelX + 1 27837 KachelY + 1 21365 -0.47275370 0.92407030 -27.086792 52.945328
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92412807-0.92407030) × R
    5.7769999999957e-05 × 6371000     		dl = 368.052669999726m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92412807-0.92407030) × R
    5.7769999999957e-05 × 6371000     		dr = 368.052669999726m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47284958--0.47275370) × cos(0.92412807) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.602530704919987 × 6371000     		do = 368.056772845789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47284958--0.47275370) × cos(0.92407030) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.602576809903233 × 6371000     		du = 368.08493614304m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92412807)-sin(0.92407030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.602530704919987-0.602576809903233)×R²
    abs(-0.47275370--0.47284958)×4.61049832468641e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.61049832468641e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.61049832468641e-05×40589641000000     		ar = 135469.460783452m²