Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27835 / 6457
↖ ↑ ↗
← N 80.823026°
W 27.097778°		 ← 97.41 m → N 80.823026°
W 27.092285°		 →
↑
97.48 m
↓
↑
97.48 m
↓
N 80.822149°
W 27.097778°		 ← 97.42 m →
9 496 m²		 N 80.822149°
W 27.092285°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27835 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6457 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424736022949219 y=0.0985336303710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424736022949219 × 216)
    floor (0.424736022949219 × 65536)
    floor (27835.5)     		tx = 27835
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0985336303710938 × 216)
    floor (0.0985336303710938 × 65536)
    floor (6457.5)     		ty = 6457
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27835 / 6457 ti = "16/27835/6457"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27835/6457.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27835 ÷ 216
    27835 ÷ 65536     		x = 0.424728393554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6457 ÷ 216
    6457 ÷ 65536     		y = 0.0985260009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424728393554688 × 2 - 1) × π
    -0.150543212890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.47294545
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0985260009765625 × 2 - 1) × π
    0.802947998046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.52253553180659
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47294545} λ = -0.47294545}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52253553180659))-π/2
    2×atan(12.4601497507531)-π/2
    2×1.49071211605868-π/2
    2.98142423211736-1.57079632675     		φ = 1.41062791
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47294545} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.097778°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41062791 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.823026°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27835 KachelY 6457 -0.47294545 1.41062791 -27.097778 80.823026
    Oben rechts KachelX + 1 27836 KachelY 6457 -0.47284958 1.41062791 -27.092285 80.823026
    Unten links KachelX 27835 KachelY + 1 6458 -0.47294545 1.41061261 -27.097778 80.822149
    Unten rechts KachelX + 1 27836 KachelY + 1 6458 -0.47284958 1.41061261 -27.092285 80.822149
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41062791-1.41061261) × R
    1.53000000000514e-05 × 6371000     		dl = 97.4763000003274m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41062791-1.41061261) × R
    1.53000000000514e-05 × 6371000     		dr = 97.4763000003274m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47294545--0.47284958) × cos(1.41062791) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.159484470008892 × 6371000     		do = 97.4111637863612m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47294545--0.47284958) × cos(1.41061261) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.159499574156919 × 6371000     		du = 97.420389215252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41062791)-sin(1.41061261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159484470008892-0.159499574156919)×R²
    abs(-0.47284958--0.47294545)×1.51041480265512e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.51041480265512e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.51041480265512e-05×40589641000000     		ar = 9495.72945519908m²