Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27834 / 6459
↖ ↑ ↗
← N 80.821273°
W 27.103272°		 ← 97.44 m → N 80.821273°
W 27.097778°		 →
↑
97.41 m
↓
↑
97.41 m
↓
N 80.820397°
W 27.103272°		 ← 97.45 m →
9 492 m²		 N 80.820397°
W 27.097778°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27834 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6459 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424720764160156 y=0.0985641479492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424720764160156 × 216)
    floor (0.424720764160156 × 65536)
    floor (27834.5)     		tx = 27834
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0985641479492188 × 216)
    floor (0.0985641479492188 × 65536)
    floor (6459.5)     		ty = 6459
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27834 / 6459 ti = "16/27834/6459"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27834/6459.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27834 ÷ 216
    27834 ÷ 65536     		x = 0.424713134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6459 ÷ 216
    6459 ÷ 65536     		y = 0.0985565185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424713134765625 × 2 - 1) × π
    -0.15057373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.47304133
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0985565185546875 × 2 - 1) × π
    0.802886962890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.52234378420811
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47304133} λ = -0.47304133}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52234378420811))-π/2
    2×atan(12.4577607760091)-π/2
    2×1.49069682422891-π/2
    2.98139364845781-1.57079632675     		φ = 1.41059732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47304133} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.103272°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41059732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.821273°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27834 KachelY 6459 -0.47304133 1.41059732 -27.103272 80.821273
    Oben rechts KachelX + 1 27835 KachelY 6459 -0.47294545 1.41059732 -27.097778 80.821273
    Unten links KachelX 27834 KachelY + 1 6460 -0.47304133 1.41058203 -27.103272 80.820397
    Unten rechts KachelX + 1 27835 KachelY + 1 6460 -0.47294545 1.41058203 -27.097778 80.820397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41059732-1.41058203) × R
    1.52899999998901e-05 × 6371000     		dl = 97.4125899992999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41059732-1.41058203) × R
    1.52899999998901e-05 × 6371000     		dr = 97.4125899992999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47304133--0.47294545) × cos(1.41059732) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.159514668395653 × 6371000     		do = 97.4397712711862m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47304133--0.47294545) × cos(1.41058203) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.159529762597094 × 6371000     		du = 97.4489915864762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41059732)-sin(1.41058203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159514668395653-0.159529762597094)×R²
    abs(-0.47294545--0.47304133)×1.50942014415512e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.50942014415512e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.50942014415512e-05×40589641000000     		ar = 9492.30957577556m²