Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 27834 / 21674
↖ ↑ ↗
← N 76.073059°
W103.551636°		 ← 73.51 m → N 76.073059°
W103.548889°		 →
↑
73.52 m
↓
↑
73.52 m
↓
N 76.072398°
W103.551636°		 ← 73.51 m →
5 405 m²		 N 76.072398°
W103.548889°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27834 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21674 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.212360382080078 y=0.165363311767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.212360382080078 × 217)
    floor (0.212360382080078 × 131072)
    floor (27834.5)     		tx = 27834
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.165363311767578 × 217)
    floor (0.165363311767578 × 131072)
    floor (21674.5)     		ty = 21674
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 27834 / 21674 ti = "17/27834/21674"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/27834/21674.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27834 ÷ 217
    27834 ÷ 131072     		x = 0.212356567382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21674 ÷ 217
    21674 ÷ 131072     		y = 0.165359497070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.212356567382812 × 2 - 1) × π
    -0.575286865234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.80731699
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.165359497070312 × 2 - 1) × π
    0.669281005859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.1026082911349
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.80731699} λ = -1.80731699}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1026082911349))-π/2
    2×atan(8.18749746329619)-π/2
    2×1.44926083636348-π/2
    2.89852167272696-1.57079632675     		φ = 1.32772535
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.80731699} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.551636°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32772535 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.073059°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27834 KachelY 21674 -1.80731699 1.32772535 -103.551636 76.073059
    Oben rechts KachelX + 1 27835 KachelY 21674 -1.80726905 1.32772535 -103.548889 76.073059
    Unten links KachelX 27834 KachelY + 1 21675 -1.80731699 1.32771381 -103.551636 76.072398
    Unten rechts KachelX + 1 27835 KachelY + 1 21675 -1.80726905 1.32771381 -103.548889 76.072398
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32772535-1.32771381) × R
    1.153999999981e-05 × 6371000     		dl = 73.5213399987897m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32772535-1.32771381) × R
    1.153999999981e-05 × 6371000     		dr = 73.5213399987897m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.80731699--1.80726905) × cos(1.32772535) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.240684457245462 × 6371000     		do = 73.5112284606454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.80731699--1.80726905) × cos(1.32771381) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.240695657992861 × 6371000     		du = 73.5146494572084m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32772535)-sin(1.32771381))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.240684457245462-0.240695657992861)×R²
    abs(-1.80726905--1.80731699)×1.12007473993259e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.12007473993259e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.12007473993259e-05×40589641000000     		ar = 5404.76977963533m²