Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27833 / 6563
↖ ↑ ↗
← N 80.729694°
W 27.108765°		 ← 98.39 m → N 80.729694°
W 27.103272°		 →
↑
98.43 m
↓
↑
98.43 m
↓
N 80.728809°
W 27.108765°		 ← 98.40 m →
9 685 m²		 N 80.728809°
W 27.103272°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27833 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6563 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424705505371094 y=0.100151062011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424705505371094 × 216)
    floor (0.424705505371094 × 65536)
    floor (27833.5)     		tx = 27833
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.100151062011719 × 216)
    floor (0.100151062011719 × 65536)
    floor (6563.5)     		ty = 6563
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27833 / 6563 ti = "16/27833/6563"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27833/6563.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27833 ÷ 216
    27833 ÷ 65536     		x = 0.424697875976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6563 ÷ 216
    6563 ÷ 65536     		y = 0.100143432617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424697875976562 × 2 - 1) × π
    -0.150604248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.47313720
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.100143432617188 × 2 - 1) × π
    0.799713134765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.51237290908714
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47313720} λ = -0.47313720}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51237290908714))-π/2
    2×atan(12.3341632109549)-π/2
    2×1.48989764737794-π/2
    2.97979529475589-1.57079632675     		φ = 1.40899897
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47313720} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.108765°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40899897 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.729694°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27833 KachelY 6563 -0.47313720 1.40899897 -27.108765 80.729694
    Oben rechts KachelX + 1 27834 KachelY 6563 -0.47304133 1.40899897 -27.103272 80.729694
    Unten links KachelX 27833 KachelY + 1 6564 -0.47313720 1.40898352 -27.108765 80.728809
    Unten rechts KachelX + 1 27834 KachelY + 1 6564 -0.47304133 1.40898352 -27.103272 80.728809
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40899897-1.40898352) × R
    1.54500000000279e-05 × 6371000     		dl = 98.431950000178m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40899897-1.40898352) × R
    1.54500000000279e-05 × 6371000     		dr = 98.431950000178m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47313720--0.47304133) × cos(1.40899897) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.161092347986782 × 6371000     		do = 98.3932359909084m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47313720--0.47304133) × cos(1.40898352) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.161107596180315 × 6371000     		du = 98.4025494010332m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40899897)-sin(1.40898352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161092347986782-0.161107596180315)×R²
    abs(-0.47304133--0.47313720)×1.52481935334348e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.52481935334348e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.52481935334348e-05×40589641000000     		ar = 9685.4964543153m²