Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27832 / 6564
↖ ↑ ↗
← N 80.728809°
W 27.114258°		 ← 98.40 m → N 80.728809°
W 27.108765°		 →
↑
98.37 m
↓
↑
98.37 m
↓
N 80.727924°
W 27.114258°		 ← 98.41 m →
9 680 m²		 N 80.727924°
W 27.108765°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424690246582031 y=0.100166320800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424690246582031 × 216)
    floor (0.424690246582031 × 65536)
    floor (27832.5)     		tx = 27832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.100166320800781 × 216)
    floor (0.100166320800781 × 65536)
    floor (6564.5)     		ty = 6564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27832 / 6564 ti = "16/27832/6564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27832/6564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27832 ÷ 216
    27832 ÷ 65536     		x = 0.4246826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6564 ÷ 216
    6564 ÷ 65536     		y = 0.10015869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4246826171875 × 2 - 1) × π
    -0.150634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.47323307
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10015869140625 × 2 - 1) × π
    0.7996826171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.5122770352879
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47323307} λ = -0.47323307}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5122770352879))-π/2
    2×atan(12.3329807445521)-π/2
    2×1.48988992474477-π/2
    2.97977984948955-1.57079632675     		φ = 1.40898352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47323307} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.114258°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40898352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.728809°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27832 KachelY 6564 -0.47323307 1.40898352 -27.114258 80.728809
    Oben rechts KachelX + 1 27833 KachelY 6564 -0.47313720 1.40898352 -27.108765 80.728809
    Unten links KachelX 27832 KachelY + 1 6565 -0.47323307 1.40896808 -27.114258 80.727924
    Unten rechts KachelX + 1 27833 KachelY + 1 6565 -0.47313720 1.40896808 -27.108765 80.727924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40898352-1.40896808) × R
    1.54400000000887e-05 × 6371000     		dl = 98.3682400005652m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40898352-1.40896808) × R
    1.54400000000887e-05 × 6371000     		dr = 98.3682400005652m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47323307--0.47313720) × cos(1.40898352) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.161107596180315 × 6371000     		do = 98.4025494010332m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47323307--0.47313720) × cos(1.40896808) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.161122834466049 × 6371000     		du = 98.4118567595948m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40898352)-sin(1.40896808))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161107596180315-0.161122834466049)×R²
    abs(-0.47313720--0.47323307)×1.52382857331046e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.52382857331046e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.52382857331046e-05×40589641000000     		ar = 9680.143370486m²