Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2783 / 5985
↖ ↑ ↗
← S 63.568120°
W 57.700195°		 ← 2 175.14 m → S 63.568120°
W 57.656250°		 →
↑
2 174.42 m
↓
↑
2 174.42 m
↓
S 63.587675°
W 57.700195°		 ← 2 173.65 m →
4 728 053 m²		 S 63.587675°
W 57.656250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2783 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5985 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.33978271484375 y=0.73065185546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.33978271484375 × 213)
    floor (0.33978271484375 × 8192)
    floor (2783.5)     		tx = 2783
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.73065185546875 × 213)
    floor (0.73065185546875 × 8192)
    floor (5985.5)     		ty = 5985
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2783 / 5985 ti = "13/2783/5985"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2783/5985.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2783 ÷ 213
    2783 ÷ 8192     		x = 0.3397216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5985 ÷ 213
    5985 ÷ 8192     		y = 0.7305908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3397216796875 × 2 - 1) × π
    -0.320556640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.00705839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7305908203125 × 2 - 1) × π
    -0.461181640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.44884485411658
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00705839} λ = -1.00705839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44884485411658))-π/2
    2×atan(0.234841407557581)-π/2
    2×0.230661662558408-π/2
    0.461323325116816-1.57079632675     		φ = -1.10947300
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00705839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.700195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10947300 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.568120°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2783 KachelY 5985 -1.00705839 -1.10947300 -57.700195 -63.568120
    Oben rechts KachelX + 1 2784 KachelY 5985 -1.00629140 -1.10947300 -57.656250 -63.568120
    Unten links KachelX 2783 KachelY + 1 5986 -1.00705839 -1.10981430 -57.700195 -63.587675
    Unten rechts KachelX + 1 2784 KachelY + 1 5986 -1.00629140 -1.10981430 -57.656250 -63.587675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10947300--1.10981430) × R
    0.0003413000000001 × 6371000     		dl = 2174.42230000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10947300--1.10981430) × R
    0.0003413000000001 × 6371000     		dr = 2174.42230000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00705839--1.00629140) × cos(-1.10947300) × R
    0.000766990000000023 × 0.445133488179513 × 6371000     		do = 2175.14180314355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00705839--1.00629140) × cos(-1.10981430) × R
    0.000766990000000023 × 0.444827840319719 × 6371000     		du = 2173.64825692756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10947300)-sin(-1.10981430))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445133488179513-0.444827840319719)×R²
    abs(-1.00629140--1.00705839)×0.000305647859794145×R²
    0.000766990000000023×0.000305647859794145×6371000²
    0.000766990000000023×0.000305647859794145×40589641000000     		ar = 4728053.08821597m²