Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27828 / 6468
↖ ↑ ↗
← N 80.813383°
W 27.136231°		 ← 97.52 m → N 80.813383°
W 27.130737°		 →
↑
97.48 m
↓
↑
97.48 m
↓
N 80.812507°
W 27.136231°		 ← 97.53 m →
9 507 m²		 N 80.812507°
W 27.130737°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27828 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6468 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424629211425781 y=0.0987014770507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424629211425781 × 216)
    floor (0.424629211425781 × 65536)
    floor (27828.5)     		tx = 27828
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0987014770507812 × 216)
    floor (0.0987014770507812 × 65536)
    floor (6468.5)     		ty = 6468
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27828 / 6468 ti = "16/27828/6468"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27828/6468.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27828 ÷ 216
    27828 ÷ 65536     		x = 0.42462158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6468 ÷ 216
    6468 ÷ 65536     		y = 0.09869384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42462158203125 × 2 - 1) × π
    -0.1507568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.47361657
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09869384765625 × 2 - 1) × π
    0.8026123046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.52148092001495
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47361657} λ = -0.47361657}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52148092001495))-π/2
    2×atan(12.447016056592)-π/2
    2×1.49062797516282-π/2
    2.98125595032563-1.57079632675     		φ = 1.41045962
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47361657} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.136231°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41045962 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.813383°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27828 KachelY 6468 -0.47361657 1.41045962 -27.136231 80.813383
    Oben rechts KachelX + 1 27829 KachelY 6468 -0.47352069 1.41045962 -27.130737 80.813383
    Unten links KachelX 27828 KachelY + 1 6469 -0.47361657 1.41044432 -27.136231 80.812507
    Unten rechts KachelX + 1 27829 KachelY + 1 6469 -0.47352069 1.41044432 -27.130737 80.812507
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41045962-1.41044432) × R
    1.52999999998293e-05 × 6371000     		dl = 97.4762999989127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41045962-1.41044432) × R
    1.52999999998293e-05 × 6371000     		dr = 97.4762999989127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47361657--0.47352069) × cos(1.41045962) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.159650603711316 × 6371000     		do = 97.5228075599433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47361657--0.47352069) × cos(1.41044432) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.159665707448462 × 6371000     		du = 97.5320337001328m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41045962)-sin(1.41044432))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159650603711316-0.159665707448462)×R²
    abs(-0.47352069--0.47361657)×1.5103737146499e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.5103737146499e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.5103737146499e-05×40589641000000     		ar = 9506.61211144172m²