Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27824 / 7722
↖ ↑ ↗
← N 79.645800°
W 27.158203°		 ← 109.78 m → N 79.645800°
W 27.152710°		 →
↑
109.84 m
↓
↑
109.84 m
↓
N 79.644812°
W 27.158203°		 ← 109.79 m →
12 058 m²		 N 79.644812°
W 27.152710°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27824 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7722 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424568176269531 y=0.117835998535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424568176269531 × 216)
    floor (0.424568176269531 × 65536)
    floor (27824.5)     		tx = 27824
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.117835998535156 × 216)
    floor (0.117835998535156 × 65536)
    floor (7722.5)     		ty = 7722
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27824 / 7722 ti = "16/27824/7722"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27824/7722.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27824 ÷ 216
    27824 ÷ 65536     		x = 0.424560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7722 ÷ 216
    7722 ÷ 65536     		y = 0.117828369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424560546875 × 2 - 1) × π
    -0.15087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.47400006
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.117828369140625 × 2 - 1) × π
    0.76434326171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.40125517576785
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47400006} λ = -0.47400006}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40125517576785))-π/2
    2×atan(11.0370210914745)-π/2
    2×1.4804388816128-π/2
    2.96087776322561-1.57079632675     		φ = 1.39008144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47400006} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.158203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39008144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.645800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27824 KachelY 7722 -0.47400006 1.39008144 -27.158203 79.645800
    Oben rechts KachelX + 1 27825 KachelY 7722 -0.47390419 1.39008144 -27.152710 79.645800
    Unten links KachelX 27824 KachelY + 1 7723 -0.47400006 1.39006420 -27.158203 79.644812
    Unten rechts KachelX + 1 27825 KachelY + 1 7723 -0.47390419 1.39006420 -27.152710 79.644812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39008144-1.39006420) × R
    1.72399999998074e-05 × 6371000     		dl = 109.836039998773m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39008144-1.39006420) × R
    1.72399999998074e-05 × 6371000     		dr = 109.836039998773m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47400006--0.47390419) × cos(1.39008144) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.179732864482428 × 6371000     		do = 109.778635492932m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47400006--0.47390419) × cos(1.39006420) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.17974982371017 × 6371000     		du = 109.788993981825m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39008144)-sin(1.39006420))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179732864482428-0.17974982371017)×R²
    abs(-0.47390419--0.47400006)×1.6959227742197e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.6959227742197e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.6959227742197e-05×40589641000000     		ar = 12058.2194672028m²