Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27823 / 7723
↖ ↑ ↗
← N 79.644812°
W 27.163696°		 ← 109.80 m → N 79.644812°
W 27.158203°		 →
↑
109.77 m
↓
↑
109.77 m
↓
N 79.643825°
W 27.163696°		 ← 109.81 m →
12 054 m²		 N 79.643825°
W 27.158203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27823 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7723 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424552917480469 y=0.117851257324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424552917480469 × 216)
    floor (0.424552917480469 × 65536)
    floor (27823.5)     		tx = 27823
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.117851257324219 × 216)
    floor (0.117851257324219 × 65536)
    floor (7723.5)     		ty = 7723
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27823 / 7723 ti = "16/27823/7723"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27823/7723.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27823 ÷ 216
    27823 ÷ 65536     		x = 0.424545288085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7723 ÷ 216
    7723 ÷ 65536     		y = 0.117843627929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424545288085938 × 2 - 1) × π
    -0.150909423828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.47409594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.117843627929688 × 2 - 1) × π
    0.764312744140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.40115930196861
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47409594} λ = -0.47409594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40115930196861))-π/2
    2×atan(11.0359629810535)-π/2
    2×1.48043026537005-π/2
    2.9608605307401-1.57079632675     		φ = 1.39006420
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47409594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.163696°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39006420 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.644812°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27823 KachelY 7723 -0.47409594 1.39006420 -27.163696 79.644812
    Oben rechts KachelX + 1 27824 KachelY 7723 -0.47400006 1.39006420 -27.158203 79.644812
    Unten links KachelX 27823 KachelY + 1 7724 -0.47409594 1.39004697 -27.163696 79.643825
    Unten rechts KachelX + 1 27824 KachelY + 1 7724 -0.47400006 1.39004697 -27.158203 79.643825
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39006420-1.39004697) × R
    1.72300000000902e-05 × 6371000     		dl = 109.772330000575m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39006420-1.39004697) × R
    1.72300000000902e-05 × 6371000     		dr = 109.772330000575m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47409594--0.47400006) × cos(1.39006420) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.17974982371017 × 6371000     		do = 109.800445843088m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47409594--0.47400006) × cos(1.39004697) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.179766773047395 × 6371000     		du = 109.810799370817m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39006420)-sin(1.39004697))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17974982371017-0.179766773047395)×R²
    abs(-0.47400006--0.47409594)×1.69493372250973e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.69493372250973e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.69493372250973e-05×40589641000000     		ar = 12053.6190411762m²