Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27823 / 6513
↖ ↑ ↗
← N 80.773835°
W 27.163696°		 ← 97.94 m → N 80.773835°
W 27.158203°		 →
↑
97.92 m
↓
↑
97.92 m
↓
N 80.772954°
W 27.163696°		 ← 97.95 m →
9 591 m²		 N 80.772954°
W 27.158203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27823 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6513 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424552917480469 y=0.0993881225585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424552917480469 × 216)
    floor (0.424552917480469 × 65536)
    floor (27823.5)     		tx = 27823
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0993881225585938 × 216)
    floor (0.0993881225585938 × 65536)
    floor (6513.5)     		ty = 6513
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27823 / 6513 ti = "16/27823/6513"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27823/6513.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27823 ÷ 216
    27823 ÷ 65536     		x = 0.424545288085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6513 ÷ 216
    6513 ÷ 65536     		y = 0.0993804931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424545288085938 × 2 - 1) × π
    -0.150909423828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.47409594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0993804931640625 × 2 - 1) × π
    0.801239013671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.51716659904915
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47409594} λ = -0.47409594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51716659904915))-π/2
    2×atan(12.3934313082749)-π/2
    2×1.49028284880217-π/2
    2.98056569760434-1.57079632675     		φ = 1.40976937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47409594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.163696°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40976937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.773835°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27823 KachelY 6513 -0.47409594 1.40976937 -27.163696 80.773835
    Oben rechts KachelX + 1 27824 KachelY 6513 -0.47400006 1.40976937 -27.158203 80.773835
    Unten links KachelX 27823 KachelY + 1 6514 -0.47409594 1.40975400 -27.163696 80.772954
    Unten rechts KachelX + 1 27824 KachelY + 1 6514 -0.47400006 1.40975400 -27.158203 80.772954
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40976937-1.40975400) × R
    1.537000000007e-05 × 6371000     		dl = 97.9222700004463m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40976937-1.40975400) × R
    1.537000000007e-05 × 6371000     		dr = 97.9222700004463m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47409594--0.47400006) × cos(1.40976937) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.16033196219112 × 6371000     		do = 97.9390163957421m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47409594--0.47400006) × cos(1.40975400) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.160347133332795 × 6371000     		du = 97.9482837100878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40976937)-sin(1.40975400))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16033196219112-0.160347133332795)×R²
    abs(-0.47400006--0.47409594)×1.51711416753464e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.51711416753464e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.51711416753464e-05×40589641000000     		ar = 9590.86454526931m²